Кроме операторной скорости и операторного ускорения мы оперируем также дифференциальными скоростью и ускорением. Они выражаются в виде не операторов, а производных соответственно. При этом используется дифференцирование по времени. Но в СТО время не есть отдельная от пространственных компонент величина. И поскольку это часть вектора пространства-времени, хорошо бы попробовать разобраться, что мы под этим временем понимаем.
В начале 20-го века, когда создавалась теория относительности, значительная часть работ по этой теме была выполнена в Академии наук Франции.Кроме неё, крупным научным центром являлась также Академия наук Германии. Немецкая и французская стороны во многом соперничали по причине нескольких предшествовавших войн. И в направлении работ по СТО немецкой стороне не хотелось бы отставать от французской.
По этой причине Эйнштейн и Минковский, работавшие на немецкой стороне, сочли просто необходимым опубликовать также и свои статьи. Минковский предложил обзорную статью, в которой довольно остроумно предложил также и естественную параметризацию как замену инвариантному времени. Если в двух словах, то при движении точки в n-мерном пространстве каждая из координат испытывает собственное приращение. Например, при движении по графику функции $y=f(x)$ у координат x и y приращения dx и dy. Из них можно организовать вектор длины, инвариантный относительно вращений в этом пространстве. Это грубо, если опустить описание контравариантных и ковариантных координат и метрического тензора. В случае декартовой плоскости это тригонометрические вращения и элемент приращения вдоль кривой графика, или элемент инвариантной длины с величиной $$ ds^2=dx^2+dy^2 $$ В случае пространственно-временной плоскости, когда одна координата это $ct$, а вторая $x$, это гиперболические вращения и элемент инвариантной длины $$ ds^2=c^2dt^2-dx^2 $$ Минковский предложил полагать инвариантным временем теории относительности элемент $ds$, определяемый как: $$ ds^2=c^2dt^2-dx^2-dy^2-dz^2 $$ И в той же статье следом уточнил, что в таком случае модуль скорости по такому времени всегда единица и что ускорение при дифференцировании по такой величине всегда ортогонально скорости.
Эта работа Минковского была едва ли не первой работой, или одной из первых, предложенной представителем немецкой стороны по теме начинавшей обретать популярность теории относительности. И многие другие, а значит последующие, работы стали выполняться с отсылкой к этой статье Минковского и к его варианту инвариантного времени. Пространство СТО стали называть пространством Минковского.
У концепции, предложенной Минковским, есть и проблемы. Первая - это то, что свойства предложенного им инвариантного интервала в качестве интервала времени не есть свойство ни теории относительности, ни пространства-времени. Это свойство естественной параметризации, и они присущи всем пространствам, в которых присутствует группа вращений. Вторая проблема в том, что такой интервал для движения света всегда нулевой. Кроме того, что это создает непреодолимую проблему с использованием интервала в знаменателе производной, интегрирование по такому интервалу при построении лагранжианов дает нулевые интегралы. Получается, что свет в вакууме может двигаться вообще любыми путями, поскольку тинтеграл по любому пути получается одинаковый с другими. Если принцип наименьшего действия, лежащий в основе лагранжева формализма, опирался на принцип Мопертюи, возникший из наблюдений за светом, то получается мы получили в основе теоретической физики весьма оригинальный казус.
Попробуем исправить ситуацию. Пусть, к примеру, есть наблюдатель, относительно которого вращается объект. Пусть объект вращается с равномерной угловой скоростью $\omega$, и соответственно с периодом $T$. Пусть отонсительно этого наблюдателя движется с быстротой $\psi$ второй наблюдатель. Для первого и второго наблюдателя объект наблюдается как периодически меняющий некое зафиксированное на нем место. Пусть это будет риска, отметка отсчета оборотов. С каждым оборотом для обоих наблюдателей эта риска занимает положение таким образом, чтобы отрезок от оси вращения до этой риски становился параллельным предыдущему отсчету и направленным в ту же сторону.
Этим явлением оба наблюдателя могут воспользоваться для отсчета периода времени оборота. В иных положениях угол от оси до риски и до другого положения риски может оказаться не выраженным только в виде тригонометрической функции от $\omega t$ в силу того, что второй наблюдатель движется и угол поворота при преобразованиях Лоренца преобразуется неконстантно, а как композиционная величина $$ \varphi'=e^{\psi/2}\varphi e^{\bar{\psi}/2} $$ И, кроме того что эта величина угол, для второго наблюдателя в некоторых положениях $\varphi$ величина $\varphi'$ содержит еще и немного быстроты. Но, в любом случае, периодичность они оба наблюдают одинаково, как периодическое явление. Вопрос лишь в том, как соотносятся эти периоды для разных наблюдателей.
В описании эффекта Доплера
https://thedarkaugust.blogspot.com/2022/01/blog-post_28.htmlприводится вывод эффекта Доплера для преобразования Лоренца. В преобразовании Лоренца $$ ct'=ct\mathrm{ch}(\psi)+x\mathrm{sh}(\psi)\cos(\Theta) $$ взятом в качестве опорного, полагается что $x$ величина того же знака что и $ct$. Но в волновом векторе, образующем фазу волны, компоненты $k$ и $\omega$ входят с разными знаками. В отношении пространственной составляющей вывод был приведен в предположении совпадения. В прямом выражении пространственной составляющей эффект Доплера описывается как $$ \omega'=\omega\frac{1-v/c\cos(\Theta)}{\sqrt{1-v^2/c^2}} $$ В приведенных примерах отдалению объекта от источника соответствует отрицательная часть графика.
Почему для нашей задачи нужен эффект Доплера? Потому, что мы можем заменить передачу периодической информации второму наблюдателю с помощью света, который он и так использует для наблюдения, частотой этого периодического события.
Соответственно, если второй наблюдатель отдаляется от объекта который вращается, то видит его вращающимся с меньшей угловой скоростью. Все процессы, происходящие в области первого наблюдателя и вращающегося тела, второй наблюдатель видит замедленными. И, чем больше скорость второго наблюдателя, тем сильнее это отставание. Второй наблюдатель получает информацию из все более дальнего прошлого. Первый наблюдатель также отдаляется от второго и видит его процессы точно так же замедленными.
К примеру, если бы наблюдатели стартовали в одной точке с одинаковыми показаниями стрелочных часов, то через некоторое время оба видели бы что у другого часы отстают.
В этом смысле в фильме "Москва-Кассиопея" показана неверная сцена. Летящие в звездолете могут увидеть своих ровесников не старше, а моложе себя. Также как и оставшиеся на Земле. Конечно, чтобы достичь значимого, заметного различия в возрастах, надо лететь не только быстро (это влияет на скорость расхождения часов), но и долго (это влияет на общее накопление расхождения показаний). Конечно, при большом различии времен интерактивное общение в практическом смысле невозможно из-за больших задержек в ходе сигналов туда-сюда. Кроме того, согласно сценарию, корабль сильно ускорялся продолжительное время и, соответственно, на обоих сторонах должны быть приняты меры по поиску несущей частоты. Сама же частота обмена сигналами также плывет из-за того же эффекта Доплера. Ну, и также добавляет проблем такие технически практически непреодолимые препятствия, как расходимость радиоволн, смещение орбиты Земли вслед за Солнцем в рукаве Галактики и потеря направления на Землю.
Отвлечение на эффект Доплера нужно для того, что именно таким образом движущиеся наблюдатели видят периодическое явление. К периоду времени мы можем привязать масштаб времени, по которому наблюдатель неподвижной относительно наблюдаемого явления или объекта, производит дифференцирование и интегрирование.
Движущийся наблюдатель может наблюдать, к примеру, некую опорную частоту, например, частоту излучения паров некоторого вещества, одновременно с наблюдением процессов первого наблюдателя. По смешщению частоты опорного излучения второй наблюдатель может определить и масштаб времени, используемый первым наблюдателем. Конечно, в рассчетах скорость света должна корректироваться с учетом показателя преломления среды, через которую проходит сигнал наблюдения за объектом.
В целом, мы можем прийти к обоснованному выводу, что любой наблюдатель для дифференцирования и интегрирования всегда может использовать свое собственное локальное по отношению к себе время $ct$.
Ускорение и сила, оглавление
Комментариев нет:
Отправить комментарий