Сокращается ли обод?

Ускорение и сила, оглавление

Если диск вращается с некоторой угловой скоростью, то сокращается ли при таком вращении обод или нет? Попробуем разобраться.

Пусть на ободе есть две точки, ${\bf r}_1$ и ${\bf r}_2$. Если обод вращается относительно центра координат, то за некоторое время $\Delta t$ при угловой скорости $\omega$ он поворачивается на угол $\omega\Delta t = \varphi$. При таком повороте координаты точек преобразуются соответственно как: $$ \begin{array}{l} {\bf r}'_1=e^{\varphi/2}{\bf r}_1e^{-\varphi/2} \\ {\bf r}'_2=e^{\varphi/2}{\bf r}_2e^{-\varphi/2} \end{array} $$ Вектор разности векторов до этих точек соответственно преобразуется как $$ {\bf r}'_1-{\bf r}'_2=e^{\varphi/2}{\bf r}_1-{\bf r}_2e^{-\varphi/2} $$ В силу того, что модуль операторов вращения единичен $$ |e^{\varphi/2}|=|e^{-\varphi/2}|=1 $$ получаем, как следствие, что $$ |{\bf r}'_1-{\bf r}'_2|=|{\bf r}_1-{\bf r}_2| $$ Преобразование вращения относится к композиционным преобразованиям. Из этого следует, что оно оставляет неизменной скалярную часть вектора. Из этого следует, что изменяется лишь векторная часть, но при этом не изменяется модуль векторной составляющей.

В этих рассуждениях никак не используется зависимость угла от времени и никак не используется взаимное расположение точек ${\bf r}_1$ и ${\bf r}_2$. То есть точки могут располагаться на одном радиусе и на разных расстояниях от центра, на разных радиусах и одинаковых расстояниях от центра. Следовательно, расстояние между двуми точками обода при любом вращении неизменно.

Ускорение и сила, оглавление