Ускорение и сила, оглавление
Какое место в формуле для силы занимает сила Лоренца? Попробуем разобраться.
Если есть уравнение силы для импульса
$$
F=ma=\partial P
$$
то при добавлении электромагнитного поля к импульсу добавляется электромагнитная
составляющая описываемая зарядом и векторным потенциалом:
$$
P\rightarrow R+qA
$$
Здесь полагаем что электромагнитный заряд не имеет распределения во времени и
пространстве, и для отдельно взятого объекта полагаем константой.
Гиперкомплексные числа считаются равными если равны их компоненты.
Соответственно этому правилу мы можем разбить это уравнение на два его
составляющих, отдельно для полярной и аксиальной частей:
$$
ma_d=q{\bf E}/c
$$
$$
m\omega_d=-q{\bf B}/c
$$
Здесь использовано разложение произведения
$$
\partial A=({\bf E}-{\bf B})/c
$$
на бивектор из векторов ${\bf E}$ и ${\bf B}$. Деление на скорость света вызвано
использованием системы СИ.
Первое из этих уравнений задает закон Кулона, связывающий силу действующую на
заряд с напряженностью электромагнитного поля. Соответственно, при
преобразованиях Лоренца компоненты бивекторапреобразуются как композиционно
преобразуемая величина и при движении заряженного объекта в магнитном поле сила
получает коррекцию в зависимости от напряженности магнитного поля и скорости.
При грубых оценках для малых скоростей общеупотребительным вариантом считается
формула:
$$
mca_d=q({\bf E}+[{\bf v}/c,{\bf B}])
$$
Этот довесок с векторным произведением и называется силой Лоренца, действующей
на движущийся в магнитном поле заряд. Если зарядов много и они расположены
протяженно в проводящей среде и при этом движутся, то на них оказывается сила
называемая силой Ампера. Собственно, на этой явлении и устроена работа
генераторов электрического тока, когда в магнитном поле вращают катушки и в
катушках вызывается принудительное движение свободных зарядов, электронов
проводимости.
Если обратить внимание на аксиальную часть
$$
mc2\omega_p=q{\bf B}
$$
то несложно получить формулу, известную менее чем сила Лоренца:
$$
\omega_p=\frac{q}{2mc}{\bf B}
$$
Это частота Лармора, или частота дополнительного вращения, приобретаемого
заряженной частицей в магнитном поле.
Поскольку частота $\omega_p$ является составляющей частью бикватерниона
динамического ускорения, а оно преобразуется как уомпозиционная величина, то при
движении в электрическом поле частота Лармора должна испытывать коррекцию в
соответствии с преобразованием композиционно преобразуемых величин при
преобразовании Лоренца. При грубой оценке для малых скоростей оценка аналогична
нерелятивистской формуле для напряженностей магнитного поля
$$
\omega_d=-\frac{q}{2mc}({\bf B}-[{\bf v}/c,{\bf E}])
$$
И, поскольку компоненты динамического ускорения
$$
a_d+\omega_d
$$
являются частями одной композиционно преобразуемой величины, для них также верно
преобразование при преобразованиях Лоренца. Если приводить грубую оценку для
малых скоростей, то
$$
a'_d=a_d+[{\bf v}/c,\omega_d]
$$
$$
\omega'_d=\omega_d-[{\bf v}/c,a_d]
$$
Для сопоствления динамической угловой скорости $\omega_d$ с реальной
кинематической угловой скоростью $\omega_p$ нужно использовать соотношение:
$$
\omega_d=-2\omega_p
$$
Трехмерные вектора испытывают привычное нам 3-мерное вращение так как мы
привыкли видеть с кинематической скоростью вращения $\omega_p$.
Поэтому утврждение о том, что сила Лоренца, сила Кулона и частота Лармора есть
части одного объекта, звучит непривычно.Непривычно выглядят и размерности
динамического ускорения.
Кроме того, те кто близко знаком с прецессией Лармора, знает что её вывод в
классической теоретической физике основан на теореме Лармора. А она, в свою
очередь, неявно полагает допущение о протяженности заряженного объекта либо о
его нахождении не в центре системы координат, для образования момента. В
действительности динамическая сила, как следствие законов сохранения, не требует
такого предположения. В частности, прецессия Лармора также применима и к
квантовым объектам, для которых суждения о протяженности и тем более о движении
частей образующих таким образом траекторию или ее части, противоречат принципам
квантовой механики.
Ускорение и сила, оглавление
Комментариев нет:
Отправить комментарий