Ускорение и убыстрение

Ускорение и сила, оглавление

Если в отношении скорости мы можем оперировать как скоростью так и быстротой и выражать одно через другое, то есть ли парный аналог для ускорения? Попробуем разобраться.

Оперируя скоростью в преобразовании Лоренца, мы используем: $$ v/c=\mathrm{th}(\psi) $$ здесь $v$ - дифференциальная скорость, $c$ - переводной коэффициент или скорость света и $\psi$ - быстрота.

Термины скорости и быстроты связаны через это соотношение и могут быть выражены друг через друга, если не учитывать характер преобразования величин слева и справа а также угол поворота, входящий в полную группу преобразований Лоренца.

Перейдем к ускорению. Если в момент $t$ преобразование Лоренца составляет $$ X(t)=e^{\psi/2+\varphi/2}Xe^{\psi/2-\varphi/2} $$ то в следующий момент времени, мало отстоящий от $t$ на малую величину $\Delta t$, составляет: $$ X(t+\Delta t) =e^{\alpha/2\Delta t}X(t)(e^{\bar{\alpha/2\Delta t}})^* $$ здесь $\alpha$ включает и полярнцю и аксиальную составляющую: $$ \alpha = \eta + \omega $$ где $\eta$ - полярная составляющая $$ \eta = Ii\eta_1+Ij\eta_2+Ik\eta_3 $$ и $\omega$ - аксиальная составляющая $$ \omega = i\omega_5+i\omega_6+k\omega_7 $$ С этой аксиальной составляющей мы хорошо знакомы. Покажем, что если в $\alpha$ входит только $\omega$: $$ X(t+\Delta t)=e^{\omega/2\Delta t}X(t)e^{-\omega/2\Delta t} $$ Полагая, что $\Delta t$ мало, можем считать: $$ e^{\omega/2\Delta t}\approx 1+\omega/2\Delta t $$ и, отбрасывая члены второго порядка малости по $\Delta t$, получим: $$ X(t+\Delta t)-X(t)=(\omega/2X(t)-X(t)\omega/2)\Delta t $$ Зная закон произведения мнимых частей кватернионов: $$ ab=-(a,b)+[a,b] $$ где $(a,b)$ - скалярное произведение аекторных частей и $[a,b]$ - векторное произведение векторных частей, получим: $$ \Delta X(t)=[\omega,X(t)]\Delta t $$ или $$ \frac{\Delta X(t)}{\Delta t}=[\omega,X(t)] $$ Устремляя $\Delta t$ к нулю и рассматривая предел отношения, стоящего слева, получаем: $$ \frac{dX(t)}{dt}=[\omega,X(t)] $$ То есть изменение угла поворота во времени есть угловая скорость $\omega$.

Величина же $\eta$ пока не имела отдельного названия. Если использовать аналогию с отношением скорости $v$ и быстроты $\psi$, то в данном случае можно говорить об отношении ускорения $a$ и величины $\eta$.

Ускорение $a$ понимается как дифференциальное ускорение, как производная по времени от скорости $a=\dot{v}$. Дадим величине $\eta$ название, похожее на ускорение - убыстрение.

Рассмотрим, какова связь $\eta$ с ускорением. Пусть в момент времени $t$ полуоператор преобразования Лоренца составляет: $$ L(t)=e^{\psi/2} $$ Тогда в момент времени $t+\Delta t$: $$ L(t+\Delta t)=e^{\eta/2\Delta t}e^{\psi/2} $$ Полагая величины $\eta$ и $\psi$ для первичной оценки малыми, получим: $$ L(t+\Delta t)\approx (1+\eta/2\Delta t)(1+\psi/2) $$ Полагая что новое произведение равно $$ L(t+\Delta t)=e^{\psi'/2} $$ получим: $$ e^{\psi'/2}\approx (1+\psi'/2)=(1+\eta/2\Delta t)(1+\psi/2) $$ $$ \psi/2=\eta/1\Delta t(1+\psi/2)=\eta/2\Delta te^{\psi/2} $$ или $$ \frac{\Delta \psi/2}{\Delta t}=\eta/2 e^{\psi/2} $$ Переходя к пределам, получаем: $$ \frac{d\psi}{dt}=\eta/2e^{\psi/2} $$ Если оценивать $\psi$ как малую величину, то $\eta$ приблизительно равно производной скорости по времени: $$ \eta\approx\frac{dv}{cdt} $$ Ускорение и сила, оглавление