Ускорение и пространственный вектор

Ускорение и сила, оглавление

Далее рассмотрим как применяется ускорение к величине, преобразуемой как вектор

Ускорение и векторная величина https://thedarkaugust.blogspot.com/2025/05/blog-post_92.html

Но используем вариант когда этот вектор является пространственно-временным, и что в этом интересного, попробуем разобраться.



Для этого в преобразовании векторной величины $$ \frac{dA_0}{dt}=(\eta,\bf{A}) $$ $$ \frac{d\bf{A}}{dt}=\eta A_0+[\omega,\bf{A}] $$ подставим вектор, являющийся пространственно-временной координатой: $$ R=ct+Iix+Ijy+Ikz $$ Для простоты сделаем замену: $$ {\bf r}=Iix+Ijy+Ikz $$ $$ R=ct+\bf{r} $$ Тогда в таких обозначениях получим: $$ \frac{d\bf{r}}{dt}=\eta ct+[\omega,\bf{r}] $$ Здесь второе слагаемое соответствует линейной скорости вращательного движения, а первое - линейной скорости поступательного движения.

Возьмем производную по времени от обеих частей при условии $$ \begin{array}{c} \eta = \mathrm{const} \\ \omega = \mathrm{const} \end{array} $$ $$ \frac{d^2\bf{r}}{dt^2}=\eta c+[\omega, \frac{d\bf{r}}{dt}] $$ Здесь первое слагаемое позволяет оценить убыстрение, соотнося с классическим линейным ускорением. А именно, если при поступательном ускорении $$ \frac{d^2\bf{r}}{dt^2}=\bf{a} $$ то $$ \eta=a/c $$ Если учитывать, что сама по себе величина $c$ довольно велика, величины $\eta$ в обычных явлениях сами по себе относительно малы.

Поскольку второе слагаемое само по себе включает производную $d{\bf r}/dt$, возьмем её из ранее известного: $$ [\omega,d{\bf r}/dt]=[\omega,\eta ct]+[\omega,[\omega,{\bf r}]] $$ Здесь второе слагаемое есть центростремительное ускорение. То есть это ускорение, но возникающее не столько как результат действия сил, сколько как кинематический эффект вращательного движения. Если результат векторного произведения перпендикулярен обоим аргументам, то двойное векторное произведение с $\omega$ дает вектор, направленный всегда против $\bf{r}$. Поскольку в операторах вращения точка вращения полагается всегда нулевой, то центростремительное ускорение всегда направлено к центру вращения. Если второе слагаемое описывает результат применения к пространственной координате, то первое - к временной. Необходимо сделать уточнение, что в приведенном выводе использовался вариант при пренебрежимо малой скорости движения $$ \psi\approx 0 $$

Ускорение и сила, оглавление