Ускорение и сила, оглавление
Как связаны между собой разные представления скорости? Попробуем разобраться.
Рассмотрим преобразование Лоренца
$$
\left\{
\begin{array}{c}
ct'=\mathrm{ch}(\psi)ct+\mathrm{sh}(\psi)x \\
x'=\mathrm{sh}(\psi)ct+\mathrm{ch}(\psi)x
\end{array}
\right.
$$
Возьмем дифференциалы при $\psi=const$:
$$
\left\{
\begin{array}{c}
cdt'=\mathrm{ch}(\psi)cdt+\mathrm{sh}(\psi)dx \\
dx'=\mathrm{sh}(\psi)cdt+\mathrm{ch}(\psi)dx
\end{array}
\right.
$$
Откуда отношение двух дифференциалов равно:
$$
\frac{dx'}{cdt}=
\frac{\mathrm{sh}(\psi)c+\mathrm{ch}(\psi)dx/dt}
{\mathrm{ch}(\psi)c+\mathrm{ch}(\psi)dx/dt}
$$
Поскольку исходная система отсчета не движется относительно себя, то
$$
\frac{dx}{dt}=0
$$
$$
\frac{dx'}{dt'}=c\mathrm{th}(\psi)
$$
Здесь в приведенном выводе связаны три различных представления скорости.
Значение $\psi$ есть быстрота и является параметрическим представлением
скорости, это полярный вектор:
$$
\psi=Ii\psi_1+Ij\psi_2+Ik\psi_3
$$
Операторное представление скорости образуется в виде полуоператоров
преобразования Лоренца
$$
x'=e^{\psi/2}x{e^{\bar{\psi}/2}}^*
$$
Если в качестве параметра преобразования выбирать только вариант буста, то
$\psi$ есть полярный вектор быстроты, и экспоненциальная функция от такой
величины дает гиперболические функции в качестве компонент.
И, наконец, скорость, представленная в счислении бесконечно малых, есть
дифференциальная скорость.
Величина $\psi$ (составляющие ее компоненты) может принимать значения от
$-\infty$ до $+\infty$, но дифференциальная скорость из-за асимптотичности
гиперболического тангенса ограничена скоростью c. Строго говоря, в
преобразованиях Лоренца переводной коэффициент не связан с частным физическим
явлением света или с электромагнитным явлением. Правильнее говорить что
электромагнитные явления используют этот переводной коэффициент, но так уж
исторически сложилось.
Сама величина $\psi$ при преобразованиях Лоренца преобразуется не как вектор
пространства-времени, а как композиционная величина:
$$
\psi'_1=e^{\psi_2/2}\psi_1e^{\bar{\psi_2}/2}
$$
Казалось бы, и произвольная функция от композиционной величины, если составлена
из элементарных функций, также должна преобразовываться композиционно, но нет.
Импульс преобразуется как вектор, но операторная скорость преобразуется
композиционно. Запись импульса в виде произведения массы на экспоненту быстроты
есть лишь сокращенная для частного случая форма:
$$
P=mc\mathrm{ch}\psi+mv\mathrm{sh}\psi
$$
Если здесь понимать под $\psi$ абсолютное значение быстроты и $v$ как вектор, то
вроде бы все сходится и импульс должен быть композиционной величиной.
Но представим себе объект, который наблюдается из системы отсчета, неподвижной
относительно него:
$$
P=mc
$$
Он целиком состоит из скалярной компоненты и его скорость есть скаляр c.
Теперь рассмотрим второй вариант, когда другая система отсчета, наблюдающая это
тело, движется с быстротой $\psi$. В ней импульс тела получает значение
$$
P'=e^{\psi/2}P{e^{\bar{\psi}/2}}^*
$$
Но не
$$
P'=Pe^{\psi}
$$
Поэтому импульс как преобразуемая как вектор величина остается вектором. Строго
говоря, именно такая запись формирует корректное значение импульса ,включая его
векторную часть и не требуя отдельного введения $v$ как 3-мерной величины и
$\psi$ как модуля быстроты.
Именно в таком, полуоператорном выражении, сохраняется полное значение $\psi$
как бивектора, включающего помимо быстроты $\psi$ также угол поворота $\varphi$:
$$
\psi=Ii\psi_1+Ij\psi_2+Ik\psi_3+i\psi_5+
j\psi_6+k\psi_7
$$
Поскольку угол традиционно обозначают символом $\varphi$, то чаще пишут полный
параметр быстроты как:
$$
\psi=Ii\psi_1+Ij\psi_2+Ik\psi_3+i\varphi_5+
j\varphi_6+k\varphi_7
$$
Параметрическое задание скорости в виде быстроты и угла выглядит наиболее точно
и из него могут быть без потери информации получены и операторное и
дифференциальное представление скорости.
Ускорение и сила, оглавление
Комментариев нет:
Отправить комментарий