Ускорение и сила, оглавление
Если есть преобразование Лоренца и оно связано со скоростью движения, то что
будет связано с изменением этой скорости, то есть с ускорением? Попробуем
разобраться.
Для начала опишем само преобразование Лоренца, например преобразование векторной
величины:
$$
X'=e^{\psi/2+\varphi/2}Xe^{\bar{\psi}^*/2+\bar{\varphi}^*/2}
$$
или после раскрытия сопряжений
$$
X'=e^{\psi/2+\varphi/2}Xe^{\psi/2-\varphi/2}
$$
Здесь $X$ - векторная величина
$$
X=x_0+Iix_1+Ijx_2+Jkx_3
$$
$\psi$ - быстрота
$$
\psi=Ii\psi_1+Ij\psi_2+Ik\psi_3
$$
$$
\mathrm{th}\psi=v/c
$$
$\varphi$ - угол поворота
$$
\varphi=i\varphi_1+j\varphi_2+k\varphi_3
$$
Сопряжение $\bar{a}$ есть векторное сопряжение, со сменой знаков у компонент в
образовании которых участвуют единицы $i$, $j$, $k$.
Сопряжение $a^*$ есть скалярное сопряжение, со сменой знаков у компонент, в
образовании которых участвует единица $I$.
Величина
$$
e^{\psi/2+\varphi/2}
$$
также может быть названа полуоператором преобразования Лоренца.
Положим, что все рассматриваемые нами преобразования должны относиться к
преобразованиям Лоренца. И, чтобы соответствовать этому, и одновременно
определить изменение преобразования Лоренца при изменении малого скалярного
параметра, рассмотрим малое преобразование Лоренца:
$$
e^{\alpha/2\Delta t}
$$
Если в момент времени $t$ преобразование представляет собой
$$
e^{\psi/2+\varphi/2}
$$
то в момент времени
$$
t+\Delta t
$$
он уже получит довесок:
$$
e^{\alpha/2\Delta t}e^{\psi/2+\varphi/2}
$$
Обозначим для упрощения полуоператор:
$$
e^{\psi/2+\varphi/2}=q
$$
Поскольку $\Delta t$ мало, для малых величин первого порядка малости
$$
e^{\alpha/2\Delta t}\approx 1+\alpha/2\Delta t
$$
Сведём вместе и получим изменение полуоператора:
$$
\Delta q = (1+\alpha/2\Delta t)q-q=\alpha/2\Delta t q
$$
Поскольку $t$ считается скалярной величиной, не равной нулю, то
$$
\frac{\Delta q}{\Delta t}=\frac{\alpha}{2}q
$$
Поскольку $q$ есть бикватернион с единичным модулем, умножаем обе части на
обратный ему:
$$
\frac{\Delta q}{\Delta t}\bar{q}=\frac{\alpha}{2}
$$
Или, переходя к пределу, получаем производную по времени:
$$
\dot{q}\bar{q}=\frac{\alpha}{2}
$$
Таким образом, можем выразить как $\dot{q}$ через $q$ и $\alpha$, так и $\alpha$
через $\dot{q}$ и $q$.
Полученная формула во многом уже знакома. В случае если производная $q$, само
значение $q$ и $\alpha$ коммутируют между собой по умножению, мы получим
$$
\frac{d}{dt}e^{\psi/2}=e^{\psi/2}\frac{d\psi}{2dt}
$$
Умножив на $e^{-\psi/2}$, получим
$$
\frac{d}{dt}e^{\psi/2}e^{-\psi/2}=\frac{d\psi}{2dt}=\frac{\alpha}{2}
$$
То есть получили обычную производную от экспоненты. То есть при использовании
полностью коммутативных величин выполняется
$$
\alpha=\frac{d\psi}{dt}
$$
Но, вообще говоря, в общем случае мы работаем с некоммутативными величинами и
требуется сохранять правильный порядок произведений.
Ускорение и сила, оглавление
Комментариев нет:
Отправить комментарий