Ускорение и сила, оглавление
Если сила получается дифференцированием импульса, т осей факт дополнительно
влечет еще одну степень свободы. Явление называется калибровочной
инвариантностью. И, хотя название не совсем точное, и правильнее было бы
называть фазовой инвариантностью, тем не менее это название закрепилось. И
попробуем разобраться в деталях.
Динамические явления, а именно изменение состояния покоя, определяются силой.
Сила есть произведение оператора дифференцирования на 4-мерный вектор импульса:
$$
F=\partial P
$$
$$
\partial=\frac{\partial}{c\partial t}+
Ii\frac{\partial}{\partial x}+
Ij\frac{\partial}{\partial y}+
Ik\frac{\partial}{\partial z}
$$
$$
P=P_0+IiP_x+IjP_y+IkP_z
$$
Здесь к импульсу $P$ мы можем прибавть произведение сопряженного оператора
дифференцирования на произвольную скалярную функцию:
$$
\bar{\partial}=\frac{\partial}{c\partial t}-
Ii\frac{\partial}{\partial x}-
Ij\frac{\partial}{\partial y}-
Ik\frac{\partial}{\partial z}
$$
Этот оператор при преобразованиях Лоренца преобразуется как вектор. Пусть $f$
есть произвольная и в достаточной степени дифференцируемая функция:
$$
f=f(ct,x,y,z)
$$
Важно, что эта функция имеет лишь скалярную составляющую и не имеет векторных
компонент. ПОскольку произведение оператора на сопряженный ему оператор
$$
\partial\bar{\partial}
$$
образует скалярный оператор, не имеющий векторных компонент, то применение его к
скалярной функции также не дает векторных компонент.
Если импульс преобразуется как
$$
P\rightarrow P+\bar{\partial}f
$$
то сила преборазуется как
$$
F\rightarrow\partial(P+\bar{\partial}f)=
\partial P+\partial\bar{\partial}f=
F+\partial\bar{\partial}f
$$
Следовательно, при таких преобразованиях векторная часть силы не изменится:
$$
\mathrm{Im}(F)\rightarrow\mathrm{Im}(F)
$$
Для того, чтобы требование неразрывности соблюдалось, останется потребовать
чтобы действительная часть, или скалярная часть, силы оставалась нулевой, а
именно:
$$
\partial\bar{\partial}f=0
$$
Такой оператор получил отдельное название, оператор Д'Аламбера:
$$
\Box f=\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 f}{\partial t^2}-
\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}-
\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}-
\frac{\partial^2 f}{\partial z^2}
$$
Если $f$ есть функция во-первых скалярная и, во-вторых, удовлетворяет такому
волновому уравнению второго порядка, то добавление 4-мерного градиента
(сопряженного, это важно) её к импульсу никак не изменяет ни динамику системы,
ни условие неразрывности массы и электрического заряда.
Ускорение и сила, оглавление
Комментариев нет:
Отправить комментарий