Ускорение и спинор

Ускорение и сила, оглавление

Как преобразуется при ускорении величина, являющаяся спинором? Попробуем разобраться.

При ускорении преобразование Лоренца меняется во времени за $\Delta t$: $$ e^{\psi/2}\rightarrow e^{\alpha/2\Delta t}e^{\psi/2} $$ где $\psi$ - быстрота и угол используемого преобразования, а $\alpha$ есть сумма убыстрения и угловой скорости. Спинор при преобразованиях Лоренца преобразуется одним полуоператором: $$ \xi\rightarrow\xi {e^{\bar{\psi}/2}}^* $$ Соответственным образом сопряженное преобразование ускорения в операторном виде: $$ {e^{\bar{\psi}/2}}^*\rightarrow {e^{\bar{\psi}/2}}^* {e^{\bar{\alpha}/2\Delta t}}^* $$ И спинор преобразуется как: $$ \xi(t + \Delta t)=\xi(t){e^{\bar{\alpha}/2\Delta t}}^* $$ Если приращение $\Delta t$ мало, то $$ e^{\alpha/2\Delta t}\approx 1+\alpha/2\Delta t $$ $$ {e^{\bar{\alpha}/2}}^*\approx 1+\bar{\alpha}^*/2\Delta t $$ $$ \Delta \xi=\xi\bar{\alpha}^*/2\Delta t $$ Переходя к пределу отношения приращений, получим: $$ \frac{d\xi(t)}{dt}=\xi(t)\bar{\alpha}^*/2 $$ Приведенная формула преобразования спинора описывает и случай вращения с угловой скоростью, поскольку $$ \alpha=\eta+\omega $$ $$ \eta=Ii\eta_1+Ij\eta_2+Ik\eta_3 $$ $$ \omega=i\omega_5+j\omega_6+k\omega_7 $$ Если вектор при вращении вызвращается в исходное положение при повороте на $2\pi$, то спинор при повороте на $4\pi$. Соответственно, и периодичность при угловом вращении у спиноров отличается вдвое от векторов, период больше в 2 раза. Само значение спинорной величины $\xi(t)$ можно заменить на преобразованную преобразованием Лоренца $e^{\psi/2}$: $$ \xi(t)=\xi(t_0){e^{\bar{\psi}/2}}^* $$ Это дает величину $\xi$, наблюдаемую при ускорении и при скорости в момент наблюдения и относительно наблюдаемого объекта. Если скорость при ускорении рассматривать как часть операторного представления ускорения, то $$ \frac{d\xi(t)}{dt}=\xi(t_0){e^{\bar{\psi}/2}}^*\bar{\alpha}^*/2 $$ Спинор $\xi$ может быть представлен покомпонентно в кватернионных обозначениях? $$ \begin{array}{l} \xi=\xi_0+I\xi_p+I\xi_4+\xi_a \\ \bar{\xi}^*=\xi_0+I\xi_p-I\xi_4-\xi_a \end{array} $$ Здесь $\xi_0$ - скалярная составляющая, $\xi_p$ - кватернион полярной части, $\xi_4$ - псевдоскалярная составляющая и $\xi_a$ - аксиальная. Параметрическое ускорение $\alpha$ также может быть представлено в кватернионной форме: $$ \begin{array}{l} \alpha=I\eta+\omega \\ \bar{\alpha}^*=I\eta-\omega \end{array} $$ И при раскрытии произведения видно, что в результат входят все сочетания и скалярных и векторных произведений. В отличие от преобразования векторных и композиционных величин в преобразовании спиноров нет сокращений. И в результате присутствуют и вращение вокруг вектора угловой скорости и вокруг вектора убыстрения со сменой аксиальной четности и все скалярные произведения. Поскольку сам полуоператор преобразования Лоренца преобразуется как спинор, можно себе представить нетривиальность его преобразования при убыстрении и при другом преобразовании Лоренца.

Ускорение и сила, оглавление