Инварианты ускорений

Ускорение и сила, оглавление

У того факта, что ускорение в теории относительности из-за соответствия принципу относительности Пуанкаре является композиционно преобразуемой величиной, есть следствие. А именно, существование Лоренц-инвариантов. И какие именно они, попробуем разобраться.

Итак, из того факта, что в ускорении $$ \frac{1}{m}\partial P $$ отсутствует скалярная составляющая из-за принципа неразрывности, следцет что бикватернион ускорения есть бивектор из полярной и аксиальной части.

Если есть кватернион, имеющий только мнимую часть $$ q=iq_x+jq_y+kq_z $$ то бивектор представляется из двух таких кватернионов и еще одной мнимой единицы, умножаемой на единицы кватерниона коммутативно: $$ Q=Iq_1+q_2 $$ $$ I^2=-1 $$ Если эта величина при преобразовании Лоренца применяемого к векторам как $$ Q\rightarrow e^{\psi/2}X{e^{\bar{\psi}/2}}^* $$ преобразуется композиционно $$ Q\rightarrow e^{\psi/2}Qe^{\bar{\psi}/2} $$ то в силу свойства оператора преобразования Лоренца $$ e^{\bar{\psi}/2}e^{\psi/2}=1 $$ имеем: $$ Q^2\rightarrow e^{\psi/2}Q^2e^{\bar{\psi}/2} $$ Само произведение мнимых кватернионов в векторном обозначении имеет вид: $$ ab=-(a,b)+[a,b] $$ где $(a,b)$ - скалярное, и $[a,b]$ - векторное произведения.

Раскроем квадрат $Q$: $$ (Iq_1+q_2)(Iq_1+q_2)=-(q_1,q_1)-(q_2,q_2)+2I(q_1,q_2) $$ Здесь использовались свойства: $$ (a,b)=(b,a) $$ $$ [a,a]=0 $$ $$ [a,b]=-[b,a] $$ Сам квадрат такой величины получается скалярной величиной, составленной из действительной части и псевдоскалярной части.

Поскольку при преобразовании Лоренца как $Q$ так и $Q^2$ преобразуются как композиционные величины, но $Q^2$ является скаляром, то эта величина есть Лоренц-инвариант: $$ Q^2\rightarrow e^{\psi/2}Q^2e^{\bar{\psi}/2}=Q^2 $$ И, поскольку инвариантом является двухкомпонентная величина, то инвариантами являются и каждая из этих частей по отдельности: $$ q_1^2-q_2^2=\mathrm{Inv} $$ $$ (q_1,q_2)=\mathrm{Inv} $$ Если сила есть произведение массы на ускорение $$ F=\partial P = ma $$ то из инвариантности квадрата векторной композиционно преобразуемой величины следует два свойства:

1) И у ускорения и у силы должны быть аксиальные составляющие. Для ускорения это аналог угловой скорости.

2) Аксиальная составляющая как силы так и ускорения никак не связаны с топологической протяженностью тела.

Если сила $F$ состоит из полярной $F_p$ и аксиальной $F_a$ составляющих, то $$ F=F_p+F_a $$ $$ F_p^2-F_a^2=\mathrm{Inv} $$ $$ (F_p,F_a)=\mathrm{Inv} $$ Те же самые замечания об инвариантности можно отнести также к другим величинам, в частности быстроте $\psi$ и углу поворота $$ \psi^2-\varphi^2 = \mathrm{Inv} $$ $$ (\psi,\varphi)=\mathrm{Inv} $$ А также к убыстрению и угловой скорости: $$ \eta^2t^2-\omega^2t^2=\mathrm{Inv} $$ $$ (\eta t,\omega t)=\mathrm{Inv} $$ Здесь присутствие времени, по которому производится дифференцирование, необходимо.

Ускорение и сила, оглавление