Ускорение параметрическое, операторное и дифференциальное

Ускорение и сила, оглавление

Рассмотрим описанное ранее ускорение, убыстрение и угловую скорость более систематично. В случае преобразований Лоренца, в которые входят буст движения и поворот, все три форму скорости могут быть определены, если задана одна из предыдущих, более элементарных: параметрическая, операторная, дифференциальная. Дифференциальная может быть получена из операторной, и операторная из параметрической. И, вообще говоря, направление буста и поворота могут не совпадать с осями координат.

То же самое построение зависимостей может быть сделано и для ускорения. Пусть вектор $X_0$ испытывает преобразование Лоренца и в момент времени $t$ преобразование составляет: $$ X_(t)=e^{\psi/2+\varphi/2}X_0e^{\psi/2-\varphi/2} $$ Здесь $\psi$ - полярный вектор буста преобразования Лоренца и $\varphi$ - аксиальный вектор поворота.

Пусть в момент времени $t+\Delta t$ преобразование Лоренца мало отличается на малый полуоператор, соответствующий прошедшему малому времени $\Delta t$: $$ X(t+\Delta t)=e^{\alpha/2\Delta t}X(t){e^{\bar{\alpha}/2\Delta t}}^* $$ Здесь $\alpha$ описывает сумму убыстрения и угловой скорости: $$ \alpha = \eta + \omega $$ где $\eta$ - полярная часть $\alpha$ и $\omega$ - аксиальная часть $\alpha$.

Такое представление ускорения и есть параметрическое представление и величина $\alpha$ здесь и является этим самым параметром.

Операторное представление ускорения строится на основе преобразования Лоренца в текущий для ускорения момент и на основе параметра $\alpha$: $$ e^{\eta/2\Delta t+\omega/2\Delta t}e^{\psi/2+\varphi/2} $$ Так выглядит полуоператор в операторном представлении ускорения.

Ключевым отличием параметрического и операторного представлений является соответственно отсутствие и наоборот, наличие, текущего преобразования Лоренца.

При любой величине $\Delta t$ значение $\alpha \Delta t$ есть малое значение параметрического представления скорости, или: $$ \alpha \Delta t=\Delta\psi+\Delta\varphi $$ Поскольку величина $\psi$ является композиционно преобразуемой величиной, то и величина $\alpha \Delta t$ также является композиционно преобразуемой величиной. Если есть некоторое стороннее преобразование Лоренца с полуоператором $e^{\psi'/2}$, то $\alpha\Delta t$ преобразуется как: $$ \alpha\Delta t\rightarrow e^{\psi'/2}\alpha te^{\bar{\psi'}/2} $$ Или, зная что $\psi'$ не содержит скаляра, получаем: $$ \alpha\Delta t\rightarrow e^{\psi'/2}\alpha te^{-\psi'/2} $$ Далее обратимся к теме исследований

По какому времени дифференцируем?
https://thedarkaugust.blogspot.com/2025/05/blog-post_93.html

В нем также используются обозначения вида $\omega t$, но имеющие совершенно иной смысл. В нем $\omega$ - это скалярная часть 4-мерного волнового вектора и произведение $\omega t$ есть составляющая скалярного произведения. В случае с ускорением $\omega$ - это вектор угловой скорости, а $t$ - некий пока неустановленный параметр дифференцирования. Возникает вопрос - как могли бы преобразовываться отдельные части произведения $\alpha\Delta t$. Повседневный опыт показывает, что угловая скорость преобразуется при преобразованиях поворота не так, как спинор, и параметр времени $\Delta t$ также должен оставаться всегда скалярной величиной, поэтому вариант преобразований $$ \begin{array}{l} \alpha \rightarrow e^{\psi'/2}\alpha \\ \Delta t\rightarrow\Delta te^{-\psi'/2} \end{array} $$ отбросим.

Поэтому в преобразованной величине $\alpha'\Delta t'$ между $\alpha'$ и $\Delta t'$ должна стоять цепочка из произведений величин, произвдение которых в итоге равно единице. Чтобы удовлетворить перечисленным требованиям, достаточно общий вид у такого преобразования может быть: $$ \alpha\Delta t\rightarrow e^{\psi'/2}\alpha\chi(\psi') e^{-\psi'/2}e^{\psi'/2}\chi^{-1}(\psi')\Delta te^{-\psi'/2} $$ Или по отдельности: $$ \begin{array}{l} \alpha\rightarrow e^{\psi'/2}\alpha\chi(\psi') e^{-\psi'/2} \\ \Delta t\rightarrow e^{\psi'/2}\Delta t\chi^{-1}(\psi')e^{-\psi'/2} \end{array} $$ Здесь функция $\chi(\psi')$ есть некая комплексная функция зависящая от $\psi'$. Введение такой функции вызывается требованием непротиворечивости и полноты при разделении произведения $\alpha$ и $\Delta t$ на две независимые величины.

В исследовании

По какому времени дифференцируем?
https://thedarkaugust.blogspot.com/2025/05/blog-post_93.html

было показано, что скалярная часть волнового вектора при преобразовании Лоренца преобразуется с учетом эффекта Доплера $$ \omega\rightarrow\omega\frac{1-v/c\cos(\Theta)}{\sqrt{1-v^2/c^2}} $$ в переменных скорости $v/c$ или $$ \omega\rightarrow\omega(\mathrm{ch}(\psi')-\mathrm{sh}(\psi')\cos(\Theta)) $$ в переменных быстроты преобразования Лоренца.

Соответственно, для того чтобы скалярное произведение $\omega t$ было инвариантной фазой, нужно чтобы время дифференцирования преобразовывалось наоборот: $$ t\rightarrow t\frac{1}{\mathrm{ch}(\psi')-\mathrm{sh}(\psi')\cos(\Theta)} $$ Именно этот вариант преобразований и подходит под искомую функцию $\chi(\psi')$, чтобы время дифференцирования для ускорения и время отсчета угловой скорости в исследовании эффекта Доплера совпадали по смыслу: $$ \chi(\psi')=\mathrm{ch}(\psi')-\mathrm{sh}(\psi')\cos(\Theta) $$ Получилось, что угловая скорость вращения преобразуется непротиворечиво как угловая скорость из волнового вектора с добавлением к эффекту Доплера композиционного преобразования.

Казалось бы, результат немного тривиален, но это не так, поскольку то же самое требование в форме преобразований характер преобразований приращения времени $\Delta t$ накладывает и на убыстрение $\eta$ и общая форма преобразования параметрического ускорения составляет: $$ (\eta+\omega)\rightarrow e^{\psi'/2}(\eta+\omega)\chi(\psi')e^{-\psi'/2} $$ То есть убыстрение $\eta$ также есть композиционно преобразуемая величина, и преобразуемая также с учетом эффекта Доплера $\chi(\psi')$. Нужно также отметить, что функция $\chi(\psi')$ зависит также и от угла $\Theta$, задающего взаимное расположение вектора движения наблюдателя и направление на него от наблюдаемого объекта.

Выше уже было отмечено, что полуоператор, построенный на параметрическом представлении ускорения $$ e^{\alpha\Delta t} $$ есть такой же полуоператор преобразования Лоренца, как и любой другой, и, следовательно, преобразуется как композиционная величина: $$ e^{\alpha\Delta t}\rightarrow e^{\psi'/2}e^{\alpha\Delta t}e^{-\psi'/2} $$ Следовательно, и операторное ускорение $$ e^{\alpha/2\Delta t}e^{\psi/2+\omega/2} $$ также преобразуется как композиционная величина.

Теперь рассмотрим дифференциальное представление ускорения. Пусть оператор $A$ представляет полуоператор: $$ A(t)=e^{\psi/2+\varphi/2} $$ $$ A(t+\Delta t)=e^{\alpha\Delta t}A(t)\approx(1+\alpha\Delta t)A(t) $$ $$ \Delta A(t)=\alpha\Delta t A(t) $$ Поскольку величины $\alpha$ и $\Delta t$ входят в выражение для $\Delta A$ в произведении, мы можем сократить входящие в них корректировки на эффект Доплера $\chi(\psi)$.

В произведении композиционного преобразования величин мы можем сократить все внутренние полуоператоры и получить, что при преобразовании Лоренца $e^{\psi'/2}$ приращение оператора преобразуется: $$ \Delta A\rightarrow e^{\psi'/2}\alpha\Delta tA(t)e^{\-psi'/2} $$ Следовательно, производная преобразуется: $$ \frac{dA}{dt}=\lim\limits_{\Delta t\rightarrow 0}\frac{\Delta A}{\Delta t} \rightarrow e^{\psi'/2}\alpha A(t)e^{-\psi'/2} $$ То есть это также есть композиционно преобразуемая величина. Нужно сделать отдельное замечание, что дифференциальное представление ускорения в таком виде это совсем не вторая производная радиус-вектора по времени, а производная полуоператора. Для построения привычного ускорения нужно также рассмотреть преобразование радиус-вектора.

Ускорение и сила, оглавление