Ускорение и сила, оглавление
Как преобразуется при ускорении векторная величина, например, импульс,
координата или оператор дифференцирования? Попробуем разобраться.
При ускорении, если уже есть движение с быстротой $\psi$, векторная величина
преобразуется до момента самого ускорения как
$$
A(t)\rightarrow e^{\psi/2}A(t_0){e^{\bar{\psi}/2}}^*
$$
И в момент времени $t$ преобразование Лоренца (итоговое) получает довесок от
убыстрения:
$$
A(t+\Delta t)=e^{\alpha/2\Delta t}
e^{\psi/2}A(t_0){e^{\bar{\psi}/2}}^*
{e^{\bar{\alpha}/2\Delta t}}^*
$$
здесь $\alpha$ - параметрическое ускорение
$$
\alpha=\eta+\omega
$$
Полученное выражение можно сократить, введя промежуточную величину:
$$
A(t)\rightarrow e^{\psi/2}A(t_0){e^{\bar{\psi}/2}}^*
$$
Тогда с использованием ее получим:
$$
A(t+\Delta t)=e^{\alpha/2\Delta t}A(t){e^{\bar{\alpha}/2\Delta t}}^*
$$
При малых $\Delta t$
$$
e^{\alpha/2\Delta t}\approx 1+\alpha/2\Delta t
$$
Если параметрическое ускорение было обозначено как выше, через
$$
\alpha=\eta+\omega
$$
то в него входит сумма полярной величины в виде убыстрения $\eta$ и аксиальной
величины в виде угловой скорости $\omega$. Следовательно, при скалярно-векторном
сопряжении полуоператоров, используемом в преобразовании векторных величин,
параметрическое ускорение сопрягается как:
$$
\bar{\alpha}^*=\eta-\omega
$$
Сведем все в одну формулу:
$$
A(t + \Delta t)\approx\left(1+\frac{\eta+\omega}{2}\Delta t\right)A(t)
\left(1+\frac{\eta-\omega}{2}\Delta t\right)
$$
Полагая, что величина слева может быть представлена относительно исходной как
$$
A(t+\Delta t)=A(t)+\Delta A(t)
$$
раскроем выражение справа и отбросим величины второго порядка малости по $\Delta
t$:
$$
\Delta A=\frac{\eta+\omega}{2}\Delta t A(t)+A(t)\frac{\eta-\omega}{2}\Delta t
$$
Рассмотрим эту формулу по отдельности для двух случаев:
$$
\begin{array}{c}
\eta=0 \\
\omega = 0
\end{array}
$$
В первом случае формула сокращается до
$$
\frac{\Delta A(t)}{\Delta t}=
\omega/2A(t)-A(t)\omega/2
$$
Учитывая правило произведения кватернионов, приходим к обычной формуле вращения
с угловой скоростью:
$$
\frac{dA(t)}{dt}=[\omega,A(t)]
$$
Опять же, нужно отметить, что вращение вокруг оси $\omega$ выполняется в
пространстве, к которому относятся результат векторного произведения $A$. В
пространстве координат мы обычно можем представить себе примерное направление
векторной части $\omega$:
$$
\frac{dr}{dt}=[\omega,r]
$$
Но важный нюанс состоит в том, что и другие векторы, например импульс или
векторный потенциал, находятся не в области координат пространства-времени. Но
при этом их изменения также входят, в некотором смысле, в векторную часть
$\omega$. Возможно, это поможет представить отличие векторов, пространственных
векторов и углового ускорения. Учитывая скорость, зачастую иллюстрируемая как
пространственно располагаемый вектор, для других величин точно также
располагается в их пространстве. Но, с другой стороны, оси векторных
пространств, и следовательно и направления, совпадают.
Рассмотрим второй упрощенный вариант ускорения, задаваемый условием
$$
\begin{array}{c}
\omega=0 \\
\eta\neq 0
\end{array}
$$
Векторные величины имеют 4 компоненты:
$$
A=A_0+IiA_1+IjA_2+IkA_3=A_0+\bf{A}
$$
Убыстрение имеет три компоненты:
$$
\eta=Ii\eta_1+Ij\eta_2+Ik\eta_3
$$
Произведения векторной величины и убыстрения, соответственно, имеет вид:
$$
\begin{array}{l}
\eta A=\eta A_0+(\eta,\bf{A})-[\eta,\bf{A}] \\
A\eta=\eta A_0+(\eta,\bf{A})-[\bf{A},\eta]
\end{array}
$$
Учитывая правило векторного произведения:
$$
[a,b]=-[b,a]
$$
получим:
$$
\eta/2A+A\eta/2=\eta A_0+(\eta,\bf{A})
$$
Здесь ведичина $\eta A_0$ является полярной составляющей и $(\eta,\bf{A})$
является скалярной составляющей. Соответственно, получим для второго
рассматриваемого варианта:
$$
\frac{dA_0(t)}{dt}=(\eta,\bf{A})
$$
$$
\frac{d\bf{A}(t)}{dt}=\eta A_0
$$
Поскольку угловая скорость никак не изменяет скалярную составляющую векторной
величины, можем объединить оба варианта в одну формулу, состоящую из скалярной и
векторной составляющих:
$$
\frac{dA_0}{dt}=(\eta.\bf{A})
$$
$$
\frac{d\bf{A}}{dt}=\eta A_0+[\omega,\bf{A}]
$$
Если вектор $A$ представляет собой векторный потенциал, то при линейном
ускорении, задаваемом убыстрением $\eta$, потенциал $A_0$ растет в течении всего
времени действия ускорения. По окончании действия ускорения величина векторного
потенциала принимает значение, соответствующее итоговому преобразованию Лоренца,
которым можно заменить итоговую скорость.
В случае если векторной величиной является вектор, состоящий из скалярной части
представленной угловой частотой $\omega$ и векторной части, представленной
волновым числом $\bf{k}$. Соответственно, для волнового вектора при ускорении
задаваемом убыстрением $\eta$, изменение угловой частоты волны будет составлять:
$$
\frac{d\omega}{cdt}=(\eta,\bf{k})
$$
Волновое число волны также будет изменяться при ускорении $\eta$:
$$
\frac{dk}{dt}=\eta\frac{\omega}{c}
$$
О появлении скорости света нужно уточнить отдельно. Для волнового вектора
инвариантная волновая фаза $\varphi$ определяется как
$$
\varphi=\omega t+(\bf{k},\bf{r})
$$
И это определение идет из классической механики, где пространственно-временное
положение задается в координатах
$$
\left(
\begin{array}{cccc}
t & x & y & z
\end{array}
\right)
$$
В теории относительности, содержащей преобразования Лоренца, координатами
являются
$$
\left(
\begin{array}{cccc}
ct & x & y & z
\end{array}
\right)
$$
Поэтому фаза волны в теории относительности задается как
$$
\varphi=\frac{\omega}{c}ct+(\bf{k},\bf{r})
$$
Поэтому при переходе от обозначений классической механики к обозначениям теории
относительности проводится замена угловой частоты:
$$
\omega\rightarrow\frac{\omega}{c}
$$
Ускорение и сила, оглавление
Комментариев нет:
Отправить комментарий