Processing math: 100%

суббота, 8 января 2022 г.

Эффект Доплера при преобразовании Лоренца

При движении мимо нас поезда или автомобиля мы слышим при приближении и при удалении звук разной частоты. Когда приближается, то частота больше, а когда удаляется, то чстота меньше. Построив ранее матрицу преобразования Лоренца
Как вывести матрицу преобразования Лоренца?
можно ли найти выражение для эффекта Доплера при таком движении? Попробуем разобраться.

В движении волнового фронта ключевой элемент - это волновой вектор. Это такой нематериальный вектор, в каждой точке волны как-бы направленный перпендикулярно к поверхности фронта волны.

Формулировка волнового вектора такова, что скалярное произведение волнового вектора на радиус-вектор точки пространства есть условная фаза волны, от которой, собственно, и зависит волновая функция: φ=kxωt здесь ω - угловая частота, и k - волновое число, связывающее длину волны: k=2πλ причем k - это трехмерный вектор.

Используя соотношения между скоростью, частотой и длиной волны, для световой волны имеем: φ=ωc(b,x)ωcct Здесь отдельно акцентируем что волновое число k было вектором, и его направление представляет единичный вектор b. То есть, если (ct,x) есть 4-мерный вектор, то ω(1/c,b1/c,b2/c,b3/c) есть волновой вектор, в котором b - единичный 3-мерный вектор задает направление движения волны в каждой точке.

Поскольку φ есть наблюдаемый инвариант в каждой точке независимо от движения наблюдателя (для любого наблюдателя в нулевой точке если минимум то это минимум для всех наблюдателей в нулевой точке) и поскольку φ есть скалярное произведение, то волновой вектор должен преобразовываться как преобразуется и радиус-вектор x. ω=L(ψ)ω В преобразовании Лоренца направляющий вектор a единичный, в волновом векторе направляющий вектор b также единичный, поэтому при применении матрицы преобразования Лоренца (a,b)=|a||b|cosθ=cosθ здесь θ - угол между этими двумы направляющими векторами. Как бы они ни были направлены, для преобразования частоты имеет значение лишь их взаимная направленность. Поскольку скорость света в нашем случае есть величина конечная, то мы можем на нее сократить. В этом случае частота представляет собой скалярную часть волнового вектора: ωc=L(ψ)ωcω=L(ψ)ω И для получения трансформации частоты нужно лишь преобразование скалярной части 4-мерного вектора: ω=ωchψ+ωshψcosθ ω=ω(chψ+shψcosθ) Выражая значения гиперболических функций через v и c, получим более известное выражение для изменения частоты в эффекте Доплера: ω=ω1+v/ccosθ1v2/c2 Чтобы примерно оценить характер изменения частоты, приведем график функции f(x)=1+x1x2 на участве от x=1 до x=1.
И чтобы понять происходящее слева, приведем тот же график на участве от x=1 до x=0.
Обычно, видя возрастание графика до бесконечности при приближении скорости к скорости света, делают вывод, что для самих фотонов, движущихся со скоростью света, энергетика любого встречного фотона запредельна. На самом деле это все относится лишь к досветовому движению. Если наблюдатель - фотон, то при наблюдении других фотонов эффект Доплера отсутствует:
Движение света. Эффект Доплера для фотона.
Здесь не происходит предельного перехода вида limψthψ=1 Для фотонов его попросту нет, для них сразу ψ= а все что лишь стремится к бесконечности есть величина непрерывная и потому не бесконечная. Поскольку для непрерывной величины в любом её значении есть величины как слева, так и справа от нее. В случае же бесконечности с одной из сторон от нее нет значений, при том что с другой находятся все значения.

Комментариев нет:

Отправить комментарий