Эффект Доплера при преобразовании Лоренца

При движении мимо нас поезда или автомобиля мы слышим при приближении и при удалении звук разной частоты. Когда приближается, то частота больше, а когда удаляется, то чстота меньше. Построив ранее матрицу преобразования Лоренца

Как вывести матрицу преобразования Лоренца?

можно ли найти выражение для эффекта Доплера при таком движении? Попробуем разобраться.

В движении волнового фронта ключевой элемент - это волновой вектор. Это такой нематериальный вектор, в каждой точке волны как-бы направленный перпендикулярно к поверхности фронта волны.

Формулировка волнового вектора такова, что скалярное произведение волнового вектора на радиус-вектор точки пространства есть условная фаза волны, от которой, собственно, и зависит волновая функция: $$ \varphi=kx-\omega t $$ здесь $\omega$ - угловая частота, и $k$ - волновое число, связывающее длину волны: $$ k=\frac{2\pi}{\lambda} $$ причем $k$ - это трехмерный вектор.

Используя соотношения между скоростью, частотой и длиной волны, для световой волны имеем: $$ \varphi=\frac{\omega}{c}(b,x)-\frac{\omega}{c}ct $$ Здесь отдельно акцентируем что волновое число $k$ было вектором, и его направление представляет единичный вектор $b$. То есть, если $(ct,x)$ есть 4-мерный вектор, то $$ \omega(1/c,b_1/c,b_2/c,b_3/c) $$ есть волновой вектор, в котором $b$ - единичный 3-мерный вектор задает направление движения волны в каждой точке.

Поскольку $\varphi$ есть наблюдаемый инвариант в каждой точке независимо от движения наблюдателя (для любого наблюдателя в нулевой точке если минимум то это минимум для всех наблюдателей в нулевой точке) и поскольку $\varphi$ есть скалярное произведение, то волновой вектор должен преобразовываться как преобразуется и радиус-вектор $x$. $$ \omega'=L(\psi)\omega $$ В преобразовании Лоренца направляющий вектор $a$ единичный, в волновом векторе направляющий вектор $b$ также единичный, поэтому при применении матрицы преобразования Лоренца $$ (a,b)=|a||b|\cos\theta=\cos\theta $$ здесь $\theta$ - угол между этими двумы направляющими векторами. Как бы они ни были направлены, для преобразования частоты имеет значение лишь их взаимная направленность. Поскольку скорость света в нашем случае есть величина конечная, то мы можем на нее сократить. В этом случае частота представляет собой скалярную часть волнового вектора: $$ \frac{\omega'}{c}=L(\psi)\frac{\omega}{c}\rightarrow\omega'=L(\psi)\omega $$ И для получения трансформации частоты нужно лишь преобразование скалярной части 4-мерного вектора: $$ \omega'=\omega\mathrm{ch}\psi+\omega\mathrm{sh}\psi\cos\theta $$ $$ \omega'=\omega(\mathrm{ch}\psi+\mathrm{sh}\psi\cos\theta) $$ Выражая значения гиперболических функций через $v$ и $c$, получим более известное выражение для изменения частоты в эффекте Доплера: $$ \omega'=\omega\frac{1+v/c\cos\theta}{\sqrt{1-v^2/c^2}} $$ Чтобы примерно оценить характер изменения частоты, приведем график функции $$ f(x)=\frac{1+x}{\sqrt{1-x^2}} $$ на участве от $x=-1$ до $x=1$.

И чтобы понять происходящее слева, приведем тот же график на участве от $x=-1$ до $x=0$.

Обычно, видя возрастание графика до бесконечности при приближении скорости к скорости света, делают вывод, что для самих фотонов, движущихся со скоростью света, энергетика любого встречного фотона запредельна. На самом деле это все относится лишь к досветовому движению. Если наблюдатель - фотон, то при наблюдении других фотонов эффект Доплера отсутствует:

Движение света. Эффект Доплера для фотона.

Здесь не происходит предельного перехода вида $$ \lim\limits_{\psi\rightarrow\infty}\mathrm{th}\psi=1 $$ Для фотонов его попросту нет, для них сразу $$ \psi=\infty $$ а все что лишь стремится к бесконечности есть величина непрерывная и потому не бесконечная. Поскольку для непрерывной величины в любом её значении есть величины как слева, так и справа от нее. В случае же бесконечности с одной из сторон от нее нет значений, при том что с другой находятся все значения.