Четырехмерны ли бикомплексные числа?

Бикомплексные числа образуются удвоением комплексных чисел мнимой единицей, умножающейся коммутативно и равной в квадрате -1. В результате в алгебре бикомплексных чисел получаются 4 компоненты. Но следует ли из этого, что они описывают 4-мерный мир?

Эйнштейн и перпендикуляры

В брошюре "О специальной и общей теории относительности", вышедшей в Москве в 1922 году, А. Эйнштейн указывает экспериментальный способ измерения координат:

Лоренц-инвариантные параметры

Оператор группы Лоренца

В выводе операторов преобразования Лоренца оказались величины, которые были введены лишь для упрощения записи. Но при этом они оказались и инвариантами. О чем именно идет речь, опишем подробнее.

Оператор для спиноров

Оператор группы Лоренца

После построения отдельных полуоператоров по осям, как для быстрот так и для углов поворотов, построим полуоператоры преобразования Лоренца для бустов в произвольном направлении для спиноров.

Полуоператоры для спиноров по осям

Оператор группы Лоренца

Для получения полуоператоров группы Лоренца по осям для спиноров скомбинируем две ранее определенные функции, получения экспоненты векторного бикватерниона и конструирования матрицы симплектического представления бикватерниона.

Генераторы для спиноров

Оператор группы Лоренца

Для оперирования преобразованием спиноров при преобразованиях Лоренца используем традиционное для спиноров представление в виде матриц 2x2 с комплексными коэффициентами. Как было выяснено в исследовании гиперкомплексных спиноров, этому представлению соответствует симплектическое представление бикватернионов, также 2x2 с комплексными коэффициентами.

Оператор для бивекторов

Оператор группы Лоренца

Для построения коэффициентов матрицы оператора для бивекторов используем ранее полученные результаты и применим к бивекторам.

Операторы для бивекторов по осям

Оператор группы Лоренца

Операторы преобразования Лоренца по осям для бивекторов могут быть построены аналитически в силу того, что мы можем построить аналитическое представления экспоненты от бикватерниона и использовать его в качестве полуоператоров.

Генераторы для бивекторов

Оператор группы Лоренца

Для вывода инфинитезимальных генераторов поступим так же как для вывода генераторов для 4-векторов. Обратимся к системе Maxima для построения произведения бикватернионов заданного вида, обозначающих малые приращения параметров для построения производной по параметру.

Оператор для 4-векторов

Оператор группы Лоренца

Для построения оператора группы Лоренца с 6 параметрами аналитически сведем ранее полученные результаты и применим к 4-векторам. Будем использовать в качестве параметров полный набор из 6 коэффициентов, 3 компоненты быстрота и 3 компоненты угла поворота.

Операторы для 4-векторов по осям

Оператор группы Лоренца

Для построения оператора группы Лоренца, как бустов, так и поворотов, используем определение получения экспоненты от бикватерниона и произведение трех бикватернионов. В преобразовании 4-векторов правый полуоператор сопряжен к левому скалярно-векторно. В нем аксиальная часть параметра меняет знак один раз, а полярная дважды, следовательно полярная часть параметров не меняет знак.

Генераторы для 4-векторов

Оператор группы Лоренца

Для построения генераторов группы Лоренца для 4-векторов рассмотрим формирование генератора как производной по параметру преобразования при нулевых значениях параметров.

Экспонента от бикватерниона

Оператор группы Лоренца

Еще одна техническая задача, которую необходимо выполнить, это построение экспоненты от бикватерниона, поскольку полуоператоры являются экспонентами от параметров.

Произведение трех бикватернионов

Оператор группы Лоренца

При использовании системы Maxima в задаче преобразования выражений в гиперкомплексной форме возникает препятствие в виде объема используемых промежуточных выражений. И решением проблемы стало разбиение цепочки преобразований на несколько, когда вместо длинной последовательности вычислений в одном документе Maxima используются несколько отдельных документов, каждый из которых начинает работу с уже подготовленного выражения, составляющего часть крупного. После применения такого решения удалось обойти проблему сложности выражений для Maxima.

Maxima и произведение бикватернионов

Оператор группы Лоренца

Поскольку система Maxima не имеет встроенной поддержки гиперкомплексных алгебр в качестве типа переменных, требуется описать как использовать набор коэффициентов бикватерниона в математических операциях так, чтобы они выполнялись так же как если бы это были бикватернионы.

Проблематика оператора группы Лоренца

Оператор группы Лоренца

Преобразования Лоренца мы привыкли видеть в сильно упрощенном виде, в виде оператора буста по одной из осей. Это как раз тот случай, когда упрощение может создать представление что он именно таков.