Ускорение и сила, оглавление
Как преобразуется при ускорении композиционно преобразуемая величина, например
угол и быстрота, или напряженности электромагнитного поля? Попробуем
разобраться.
При ускорении преобразование Лоренца меняется со временем
$$
e^{\psi/2}\rightarrow e^{\alpha/2\Delta t}e^{\psi/2}
$$
здесь $\psi$ - текущие быстрота и угол при которых выполняется ускорение, и
$\alpha$ - параметрическое ускорение, суммы убыстрения и угловой скорости:
$$
\alpha = \eta + \omega
$$
Поскольку композиционная величина, например, угол, или результат векторного
произведения, преобразуется как
$$
\varphi\rightarrow e^{\psi/2}\varphi e^{\bar{\psi}/2}
$$
то при ускорении преобразование должно быть следующим:
$$
\begin{array}{c}
e^{\psi/2}\rightarrow e^{\alpha/2\Delta t}e^{\psi/2} \\
e^{\bar{\psi}/2}\rightarrow e^{\bar{\psi}/2}e^{\bar{\alpha}/2\Delta t}
\end{array}
$$
Если величина $\varphi$ в момент времени $t$ есть
$$
\varphi(t)=e^{\psi/2}\varphi(t_0)e^{\bar{\psi}/2}
$$
то в момент времени $t+\Delta t$ она отличается:
$$
\varphi(t+\Delta t)=e^{\alpha/2\Delta t}\varphi(t)e^{\bar{\alpha}/\Delta t}
$$
И при малых $\Delta t$ испытывает малое изменение
$$
\varphi(t)+\Delta\varphi(t)\approx(1+\alpha/2\Delta
t)\varphi(1+\bar{\alpha}/2\Delta t)
$$
Оставив малые первого порядка малости и перейдя к пределу отношения приращений,
получим:
$$
\frac{d\varphi(t)}{dt}=\alpha/2\varphi(t)+\varphi(t)\bar{\alpha}/2
$$
Поскольку при векторном сопряжении знак меняется у всех компонент, содержащих
мнимые единицы $i$, $j$ и $k$ в своем образовании, и величина $\alpha$ не
содержит компоненты при мнимой единице $I$, то
$$
\bar{\alpha}=-\alpha
$$
Поскольку параметр ускорения состоит только из векторный компонент, то получаем
$$
\frac{d\varphi(t)}{dt}=\frac{1}{2}(\alpha\varphi(t)-\varphi(t)\alpha)
$$
Если использовать операторное представление ускорения, вместе со скоростью при
ускорении и рассматривать величину $\varphi(t)$ как преобразуемую из некоей
начальной
$$
\varphi(t)=e^{\psi/2}\varphi_0e^{\bar{\psi}/2}
$$
Тогда изменение величины получается:
$$
\frac{d\varphi(t)}{dt}=\frac{1}{2}(\alpha e^{\psi/2}\varphi_0e^{\bar{\psi}/2}-
e^{\psi/2}\varphi_0e^{\bar{\psi}/2}\alpha)
$$
Выражения без учета и с учетом скорости при ускорении совпадают при малых
скоростях, когда
$$
\psi\approx 0
$$
Рассмотрми преобразование композиционно преобразуемой величины при малых
скоростях и при вращательном движении:
$$
\begin{array}{l}
\psi\approx 0 \\
\alpha = \omega=i\omega_5+j\omega_6+k\omega_7 \\
\eta=0
\end{array}
$$
Если величина $\varphi$ является композиционно преобразуемой, например если это
угол или векторное произведение, то она состоит из полярной и аксиальной частей.
Рассмотрим правило произведения векторных кватернионов:
$$
ab=-(a,b)+[a,b]
$$
Здесь $(a,b)$ - скалярное произведение и $[a,b]$ - векторное произведение
векторных частей $a$ и $b$.
В выражении
$$
\frac{1}{2}(\alpha\varphi-\varphi\alpha)
$$
скалярное произведение сокращается и в силу того что
$$
[a,b]=-[b,a]
$$
выражение принимает вид:
$$
\frac{d\varphi(t)}{dt}=[\alpha,\varphi]
$$
Поскольку параметр $\alpha$ состоит из только угловой скорости, то получаем
классическое выражение
$$
\frac{d\varphi(t)}{dt}=[\omega,\varphi]
$$
То есть величина $\varphi$ вращается вокруг направления $\omega$ и с угловой
скоростью $\omega$ в пространстве, в отором существует величина $\varphi$.
Если рассматривать параметр как состоящий только из убыстрения
$$
\alpha = \eta
$$
то выражение результата никак неменяется за исключением учитывания что в
выражении $\omega$ нет мнимой единицы $I$, а в убыстрении она есть. То есть при
движении с ускорением, задаваемом убыстрением $\eta$, композиционно
преобразуемая величина $\varphi$ также должна вращаться вокруг направления
$\eta$:
$$
\frac{d\varphi(t)}{dt}=[\eta,\varphi]
$$
Таким же способом при ускорении $\eta$ должен вращаться и тензор
электромагнитного поля. Снова нужно уточнить, что вращение наблюдается в
пространстве, в котором существует величина $\varphi$, но из-за присутствия
единицы $I$ в величине $\eta$ производится смена акиальной четности производной
$\varphi$ по отношению к самой $\varphi$. Таким поведением тензор ЭМ поля
отличается от векторных величин, которые преобразуются иначе, например
координаты или импульсы, не испытывающие вращения при линейном ускорении (и не
имеющие аксиальных составляющих).
Ускорение для композиционно преобразуемой величины в силу специфики
преобразований таких величин имеют свойство:
$$
e^{\alpha\Delta t}\exp(\psi+\varphi)e^{\bar{\alpha}/2\Delta t}=
\exp\left(e^{\alpha\Delta t}(\psi+\varphi)e^{\bar{\alpha}/2\Delta t}\right)
$$
То есть параметр оператора, если он является композиционной величиной,
преоразуется также как и сам оператор. То есть для быстрот и углов ускорение в
операторной форме применяется точно также и к самим быстротам и углам.
Рассмотренное ранее выражение вращения
$$
\frac{d\varphi(t)}{dt}=[\eta,\varphi]
$$
полностью аналогично образованию линейной скорости при угловом вращении:
$$
\frac{d{\bf r}}{dt}=[\omega,{\bf r}]
$$
за исключением того факта, что $\omega$ есть аксиальный вектор, а $\eta$ есть
полярный.
Вращение вокруг полярного вектора меняет аксиальную четность аргумента, к
которому такое вращение применяется. Явление полностью аналогично преобразованию
напряженностей электромагнитного поля или силы Лоренца, когда при движении со
скоростью $\bf{v}$ напряженность $\bf{E}$ получает довесок в виде векторного
произведения $\bf{v}$ и $\bf{B}$, а $\bf{B}$ получает довесок в виде векторного
произведения $-\bf{v}$ и $\bf{E}$.
В случае с ускорением ситуация аналогична. Если есть убыстрение $\eta$, то
изменение во времени полярной части $\psi$, ее производная по времени, получает
довесок в виде векторного произведения убыстрения $\eta$ и аксиальной части,
$\varphi$.
И парным к нему изменением во времени аксиальной составляющей, или производная
по времени $\varphi$, получает довесок в виде векторного произведения убыстрения
$-\eta$ и быстроты $\psi$. Это явление получило отдельное название, прецессия
Томаса.
И точно также, как и при преобразовании напряженностей ЭМ поля, полярная часть
результата получает положительный довесок, а аксиальная получает отрицательный
довесок. Это обстоятельство есть также следствие смены аксиальной четности
вличин.
Ускорение и сила, оглавление
Комментариев нет:
Отправить комментарий