Ускорение и сила, оглавление
Ранее мы рассмотрели диномическое ускорение, преобразующееся как бивектор. И еще
ранее параметрическое, где преобразуется как бивектор произведение
параметрического ускорения на время. Обе величины составные и обе описывают
унтуитивно примерно одно и то же явление. Есть ли между ними связь и какая,
попробуем разобраться.
Если в параметрическом ускорении аксиальная часть не вызывает никакого неприятия
поскольку это параметр преобразования вращения, к которому мы все привыкли, то
вхождение аксиальной составляющей в динамическое ускорение выглядит непривычно.
Выделим преобразование вращения во времени отдельно и рассмотрим вариант малых
скоростей. Пусть угловая скорость не зависит от пространственной и временной
координат и для вычисления скорости в произвольной точке
$$
r=\left(
\begin{array}{cccc}
ct & x & y & z
\end{array}
\right)
$$
не требуется интеграл по пути до этой точки:
$$
r'=e^{\omega_p/2\Delta t}re^{-\omega_p/2\Delta t}
$$
здесь $\omega_p$ - параметрическая угловая скорость. Приращение радиус-вектора
будет составлять при малых $\Delta t$:
$$
r'-r\approx\left(1+\frac{\omega_p\Delta t}{2}\right)
r\left(1-\frac{\omega_p\Delta t}{2}\right)
\approx[\omega_p\Delta t,r]
$$
Соответственно, если приращение времени мало и то мало и приращение
радиус-вектора:
$$
r'-r=\Delta r=\Delta t[\omega_p,r]
$$
То есть получили классическое выражение линейной скорости при вращении
относительно центра координат:
$$
v=\lim\limits_{\Delta t\rightarrow 0}\frac{\Delta r}{\Delta t}=[\omega_p,r]
$$
Для нахождения связи с динамическим ускорением
$$
a_d+\omega_d
$$
оценим величину импульса при малых скоростях. Если есть преобразование Лоренца
то импульс из сонаправленного времени в системе отсчета связанной с наблюдателем
неподвижным относительно тела
$$
P=mc
$$
преобразуется в
$$
P=mce^{\widetilde{\psi}}
$$
Величина $\widetilde{\psi}$ есть приведенное линейное преобразование Лоренца. А
именно, если есть общее преобразование
$$
P'=e^{\psi/2+\varphi/2}Pe^{\psi/2-\varphi/2}
$$
то такой полуоператор можно разложить на два отдельных преобразования, чтобы
выполнялось
$$
e^{\psi/2+\varphi/2}=e^{\widetilde{\psi}/2}e^{\widetilde{\varphi}/2}
$$
где $\widetilde{\psi}$ - преобразование буста и $\widetilde{\varphi}$ -
преобразование поворота.
Полученный в итоге импульс равен
$$
P'=mc\left(\mathrm{ch}(|\widetilde{\psi}|)+
\frac{\widetilde{\psi}}{|\widetilde{\psi}|}
\mathrm{sh}(|\widetilde{\psi}|)\right)
$$
$$
P'=mc\left(1+
\frac{\widetilde{\psi}}{|\widetilde{\psi}|}
\mathrm{th}(|\widetilde{\psi}|)\right)
\mathrm{ch}(|\widetilde{\psi}|)
$$
Сама величина $\mathrm{th}(\widetilde{\psi})$ есть отношение относительной
линейной скорости $v$ к скорости света:
$$
\mathrm{th}(\widetilde{\psi})=v/c
$$
Поскольку отношение $\widetilde{\psi}/|\widetilde{\psi}|$ есть единичный вектор,
задающий направление скорости, то можно скорость $v$ считать векторной
величиной:
$$
P'=mc(1+v/c)\mathrm{ch}(|\widetilde{\psi}|)
$$
И, поскольку рассматриваем случай малых скоростей, то для них
$$
\mathrm{ch}(|\widetilde{\psi}|)\approx 1
$$
Итого получаем оценку малого импульса как
$$
P=mc+m{\bf v}=mc+Iimv_x+Ijmv_y+Ikmv_z
$$
Подставим ранее полученные величины в итоговую формулу
$$
a_d+\omega_d=\partial(mc+m[\omega_p,r])
$$
Непосредственное раскрытие справа векторного произведения и взятие частных
производных дает равенство полярной части уравнения
$$
a_d=0
$$
и аксиальной
$$
\omega_d=-2\omega_p
$$
Опять же нужно отметить, что эта оценка получена при нескольких одновременно
сделанных предположениях: 1) малые скорости и ) постоянство параметрической
угловой скорости. Но в общем случае взаимосвязь динамической и параметрической
угловых скоростей намного сложнее.
Из полученного результата следует, что кроме различного характера преобразований
величин динамического и параметрического ускорений при преобразованиях Лоренца,
еще и их величины заметно отличаются, а именно, угловая скорость при сделанных
предположениях отличается оценочно в 2 раза.
Рассмотрим отношение полярных частей динамического и параметрического ускорения.
Для этого применим оператор дифференцирования к оценке импульса при малых
скоростях:
$$
\partial(mc+m{\bf v})
$$
$$
\partial=\frac{\partial}{c\partial t}+
Ii\frac{\partial}{\partial x}+
Ij\frac{\partial}{\partial y}+
Ik\frac{\partial}{\partial z}
$$
$$
{\bf v}=Iiv_x+Ijv_y+Ikv_z
$$
В полярную часть результата входят:
$$
{\bf a}_d=\frac{\partial}{c\partial t}(v_x+v_y+v_z)+
\left(Ii\frac{\partial}{\partial x} +
Ij\frac{\partial}{\partial y} +
Ik\frac{\partial}{\partial z}
\right)mc
$$
Если не полагать скорости малыми, то скалярная часть импульса уже не должна
считаться константой, тогда
$$
{\bf a}_d=\frac{\partial}{c\partial t}(v_x+v_y+v_z)+
\left(Ii\frac{\partial}{\partial x} +
Ij\frac{\partial}{\partial y} +
Ik\frac{\partial}{\partial z}
\right)P_0
$$
В отличие от классического определения ускорения как полной производной скорости
по времени здесь используется частная производная, также как частные производные
скалярной составляющей импульса $P_0$. В скалярную составляющую импульса входит
энергетика объекта. Соответственно, в нее входит и потенциальная составляющая
энергетики. То есть в итоговое динамическое ускорение входят векторная сумма из
кинематической составляющей как производной скорости по времени и градиента
энергетики объекта:
$$
{\bf a}_d=\frac{\partial}{c\partial t}{\bf v}+
\mathrm{grad}p_0
$$
И для построения соотношения с параметрическим ускорением найдем оценку
скорости:
$$
r'=e^{\eta/2\Delta t}te^{\eta/2\Delta t}\approx
\left(1+\frac{\eta}{2}\Delta t\right)r
\left(1+\frac{\eta}{2}\Delta t\right)\approx
r+\eta\Delta tct
$$
Здесь отброшены члены второго порядка малости по $\Delta t$ и учтено
произведение кватернионов:
$$
ab=-(a,b)+[a,b]
$$
$$
[a,b]=-[b,a]
$$
$$
(a,b)=(b,a)
$$
Соответственно, малое приращение $r$:
$$
\Delta r=r'=r=\eta ct\Delta t
$$
$$
\frac{\Delta r}{\Delta t}=v=\eta ct
$$
$$
{\bf a}_d=\frac{\partial}{c\partial t}(\eta ct)
$$
Если к предположениям, сделанным для проведенной оценки ранее, добавить еще
постоянство параметрического ускорения $\eta=const$, то получим грубоватую, но
все же понятную оценку динамического ускорения:
$$
{\bf a}_d\approx \eta c
$$
Важно понимать, что обе оценки, или угловой скорости и для линейного ускорения
были выполнены в предположении как малых скоростей, так и независимости
параметрического ускорения от времени и от положения. В случае же если такие
зависимости есть, то к ускорению добавятся новые составляющие.
Ускорение и сила, оглавление
Комментариев нет:
Отправить комментарий