Если предположить, что лагранжиан описывающей систему должен быть инвариантен относительно смещения точки отсчета, то из теоремы Нетер следует закон сохранения импульса. Какое это утверждение имеет отношение к силе, попробуем разобраться.
Обозначим импульс отдельного тела, входящего в систему тел, через $K$. Это величина, преобразуемая как вектор. И из теоремы Нетер следует, что $$ \sum\limits_i K_i=\mathrm{const} $$ Поскольку эта величина константа, то импульсы могут перетекать от одного тела к другому, лишь бы сумма оставалась константой.
Из этого следует, что если применить к константе операцию дифференцирования, то мы должны получить ноль: $$ \frac{\partial}{\partial x_j}\sum\limits_jK_i=0 $$ Здесь в качестве производных могут быть производные по любым компонентам пространственно-временной координаты, а не только по времени. Если оставить полную производную по времени, то получим: $$ \frac{d}{dt}\sum\limits_iK_i=0 $$ Поскольку операция дифференцирования линейна, можем преобразовать к такому варианту: $$ \sum\limits_i\frac{d}{dt}K_i=\sum\limits_iF_i=0 $$ Что выражает традиционную запись одного из законов Ньютона, означающий что сумма сил, действующая между взаимодействующими телами, равна нулю. Если упростить до крайности из двух тел, то получим часто встречающийся вариант "действие равно противодействию".
Если ненадолго отвлечься от темы, то именно этот закон и можно положить в основу теории дальнодействия.
Каждая из величин $$ \frac{d}{dt}K_i=F_i $$ называется силой. В классической механике этот подход работает просто шикарно, но в теории относительности увы, выделить одну отдельную компоненту пространства-времени задача слишком объемна.
Используем изначальную формулировку с произвольными частными производными, или производными по произовльным координатам: $$ \frac{\partial}{\partial x_j}\sum\limits_iK_i=0 $$ Поскольку правило равенства нулю должно сохраняться при выборе совершенно произвольного направления дифференцирования, мы должны перейти к оператору дифференцирования $\partial$ и применять его к импульсам $K_i$. Сам оператор дифференцирования $$ \partial=\frac{\partial}{c\partial t}+Ii\frac{\partial}{\partial x} +Ij\frac{\partial}{\partial y}+Ik\frac{\partial}{\partial z} $$ при преобразованиях Лоренца преобразуется не как вектор, а как величина обратная вектору, а именно, если $$ x\rightarrow e^{\psi/2}x{e^{\bar{\psi}/2}}^* $$ то $$ \frac{1}{x}\rightarrow {e^{\psi}/2}^*\frac{1}{x}e^{\bar{\psi}/2} $$ поскольку $|e^{\psi}/2|=1$
Здесь само значение $\psi$ обозначает быстроту и угол для краткости записи. Но как вектор преобразуется сопряженный оператор дифференцирования: $$ \bar{\partial}=\frac{\partial}{c\partial t}-Ii\frac{\partial}{\partial x} -Ij\frac{\partial}{\partial y}-Ik\frac{\partial}{\partial z} $$ $$ \bar{\partial}\rightarrow e^{\psi/2}\bar{\partial}{e^{\bar{\psi}/2}}^* $$ Для того, чтобы соответствовать принципу относительности Пуанкаре, произведение величин не должно содержать в середине цепочки произведений операторов преобразования, они должны быть слева и / или справа. То есть из вариантов $$ \begin{array}{c} \partial K \\ \bar{\partial} K \end{array} $$ мы должны оставить первый, поскольку эти величины преобразуются как: $$ \partial K \rightarrow {e^{\psi/2}}^*\partial K {e^{\bar{\psi}/2}}^* $$ $$ \bar{\partial}K\rightarrow e^{\psi/2}\partial{e^{\bar{\psi}/2}}^*e^{\psi/2} K{e^{\bar{\psi}/2}}^* $$ И лишь первый вариант представляет собой величину, оставляющую запись физического закона одинаково для различных наблюдателей.
Итого, получили из закона сохранения импульса и принципа относительности Пуанкаре выражение для силы: $$ F_i=\partial K_i $$ Это композиционно преобразуемая величина, а не векторная.
В присутствии электромагнитного поля полный импульс дополняется полевым довеском $$ K=P+qA $$ и называется также каноническим. Применение оператора дифференцирования к электромагнитному довеску дает силу, включающую силу Лоренца $$ F=q\partial A $$ Сама величина, на которую умножается заряд, $$ \partial A $$ есть напряженности электромагнитного поля. Они и преобразуются как композиционные величины. Точно так же преобразуется и полярная часть силы Лоренца.
Если следовать классическому подходу к силе Лоренца, то рассматривают именно полярную часть, а именно (в векторных 3-мерных обозначениях): $$ {\bf F}=q{\bf E} $$ в кулоновском варианте, либо преобразование напряженности для движущегося наблюдателя (случай малых скоростей, в системе СИ): $$ {\bf F}=q({\bf E}+[{\bf v},{\bf B}]) $$
В действительности, если следовать логике и происхождению силы как физической величины, мы должны также сохранить у силы и аксиальную составляющую. Если полярная часть силы сопоставляется с полярной величиной ускорения, то аксиальная составляющая сопоставляется с аксиальной частью ускорения, то есть с угловой скоростью.
Возможно, что именно о таком построении силы писал Пуанкаре в работе "О динамике электрона":
Силы любого происхождения, и в частности силы тяготения, ведут себя при поступательном движении (при преобразованиях Лоренца) совершенно также как электромагнитные силы.
Но, поскольку поступательное ускорение оказывается связанным в один бивектор с вращательной угловой скоростью, мы можем распространить это высказывание и на вращательное движение.
Поскольку в общем виде определение силы должно быть применимо к общему, каноническому импульсу, в итоговом виде получаем: $$ F=\partial(P+qA) $$ Для экспериментальной проверки можно отслеживать изменение линейного импульса при изменении электрического поля если объект имеет электрический заряд и изменение угловой скорости заряженного тела при изменении напряженности магнитного поля.
Ускорение и сила, оглавление
Комментариев нет:
Отправить комментарий