Динамическое ускорение

Ускорение и сила, оглавление

Рассмотренные ранее виды ускорений, опирающиеся на параметрические величины убыстрения и угловой скорости, относятся к кинематическим. Кинематические ускорения - это ускорения, относящиеся к изменению преобразования Лоренца как такового. Другой вид ускорения - динамическое. Разберемся, чем отличается от кинематических.

Динамическое ускорение есть следствие применения силы. Когда Ньютон, как астроном, наблюдал за движением тел, он видел в первую очередь ускорения и скорости. И по ним определял силу, в частности $$ {\bf F}=m{\bf a} $$ В действительности же первопричиной является сила как изменение импульса.

Ранее мы нашли, что сила, соответствующая принципу относительности Пуанкаре, имеет вид: $$ F=\partial(P+qA) $$ Мы можем связать ускорение с изменением скорости. Для этого возьмем в качестве опорной величины импульс. Пусть наблюдатель движется синхронно с неким телом массы $m$. В этом случае тело быдет иметь импульс, имеющий лишь скалярную составляющую: $$ P=mc $$ Если тело двигается относительно наблюдателя и это движение описывается соответствующим преобразованием Лоренца с быстротой $\psi$ и углом поворота $\varphi$ $$ \begin{array}{l} \psi=Ii\psi_x+Ij\psi_y+Ik\psi_z \\ \varphi=i\varphi_x+j\varphi_y+k\varphi_z \end{array} $$ то к импульсу применяется преобразование как к вектору: $$ P'=e^{\psi/+\varphi/2}mce^{\psi/2-\varphi/2} $$ Здесь сопряжения внесены в знак: $$ \begin{array}{l} \bar{\psi}^*=\psi \\ \bar{\varphi}^*=-\varphi \end{array} $$ Полуоператор преобразования Лоренца имеет свойство разложимости на последовательность преобразований поворота и буста. Обозначим новые параметры такого разложения через: $$ e^{\psi/2+\varphi/2}=e^{\widetilde{\psi/2}}e^{\widetilde{\varphi/2}} $$ В частном случае, когда $\varphi=0$, значения $\psi$ и $\widetilde{\psi}$ совпадают.

Соответственно, скалярно-векторное сопряженный правый полуоператор заменяется на: $$ e^{\psi/2-\varphi/2}=e^{-\widetilde{\varphi/2}}e^{\widetilde{\psi/2}} $$ И при такой замене импульс получит значение: $$ P=mce^{\widetilde{\psi}} $$ Если для получения силы мы применяем оператор дифференцирования к импульсу $$ F=\partial P $$ то мы должны применить его же в виде: $$ F=mc\partial e^{\widetilde{\psi}} $$ Следуя утверждению Ньютона, величина $c\partial e^{\widetilde{\psi}}$ есть ускорение. И, поскольку оно следует из силы, оно должно считаться динамическим ускорением: $$ \begin{array}{c} F=mc\partial e^{\widetilde{\psi}}=ma \\ a=c\partial e^{\widetilde{\psi}} \end{array} $$ Поскольку величина $e^{\widetilde{\psi}}$ преобразуется как вектор, образованный из произведения двух взаимносопряженных полуоператоров, а оператор дифференцирования $\partial$ преобразуется как сопряженный вектор, динамическое ускорение при преобразованиях Лоренца преобразуется композиционно. То есть ключевое отличие от классических ускорений состоит в отсутствии в динамическом ускорении эффекта Доплера.

Если ускорением считать именно такое определение, то у массы нет зависимости от того, параллельно ускорение скорости или нет. То есть в таком определении у массы нет различия на продольную и поперечную, и масса есть строго Лоренц-инвариантная величина.

Ускорение и сила, оглавление