Ускорение и сила, оглавление
В отличие от довольно сложного правила сложения скоростей в СТО, правило
сложения убыстрений выглядит намного проще.
Положим, что к полуоператору преобразования Лоренца применяется полуоператор
ускорения
$$
e^{\psi(t+\Delta t)/2}=e^{\eta/2\Delta t}e^{\psi(t)/2}
$$
И положим, что есть два последовательно применяемых полуоператора ускорения с
убыстрениями $\eta_1$ и $\eta_2$:
$$
e^{\psi(t+\Delta t_1+\Delta t_2)/2}=
e^{\eta_2/2\Delta t_2}e^{\eta_1/2\Delta t_2}e^{\psi(t)/2}
$$
Считая оба приращения $\Delta t_1$ и $\Delta t_2$ малыми, получим:
$$
\begin{array}{l}
e^{\eta_2/2\Delta t_2}\approx 1+\eta_2/2\Delta t_2 \\
e^{\eta_1/2\Delta t_1}\approx 1+\eta_1/2\Delta t_1
\end{array}
$$
Если раскрыть произведение и оба малых приращения $\Delta t_1$ и $\Delta t_2$
устремить к нулю, то результат быдет выглядеть как если бы мы использовали
ускорение с третьим убыстрением:
$$
(1+\eta_2/2\Delta t_2)(1+\eta_1/2\Delta t_1)\approx
1+(\eta_2/2+\eta_1/2)/2\Delta t_3
$$
Здесь иы отбросили члены второго порядка малости и положили, что величины
$\Delta t_1$ и $\Delta t_2$ стремятся к малой величине одинаково:
$$
\begin{array}{l}
\Delta t_1\rightarrow\Delta t_3 \\
\Delta t_2\rightarrow\Delta t_3
\end{array}
$$
Полученный полуоператор ускорения выглядит как если бы мы произведение экспонент
с убыстрениями заменили на экспоненту с суммой убыстрений:
$$
e^{\eta_2/2\Delta t_2}e^{\eta_1/2\Delta t_1}=
e^{(\eta_2 + \eta_1)/2\Delta t_3}
$$
То есть убыстрения складываются арифметически. Проведя те же рассуждения для
угловой скорости, входящей в выражение ускорения однородно с убыстрением,
получим правило и для угловых скоростей, что они также складываются
арифметически. Кроме того, убыстрения и угловые скорости также между собой
складываются арифметически.
Ускорение и сила, оглавление
Комментариев нет:
Отправить комментарий