Матрицы Паули и собственные числа

Насколько различные представления матриц Паули соответствуют исходной задаче на собственные числа оператора спина? В чем они совпадают и в чем нет? Попробуем разобраться.

Для сопоставления выберем все три матричных представления и добавим к ним гиперкомплексное. Для некоторой определенности выберем матрицу Паули $\sigma_y$, соответствующую оси $y$.

Для упрощения проверки используем систему компьютерной алгебры Maxima для вычисления собственных значений. Значения в нижеприведенной программе $M8$ и $e8$ будем сопоставлять с матрицами $8\times 8$ с действительными коэффициентами, $M4$ и $e4$ с матрицами $4\times 4$ с комплексными коэффициентами и $M2$ и $e2$ с матрицами $2\times 2$ с комплексными коэффициентами. Значения $M$ представляют матрицы и $e$ - собственные числа соответственно.

Программа для Maxima имеет вид:

M2:matrix(
    [0,-%i],
    [%i,0]
);
e2:eigenvalues(M2)[1];

M4:matrix(
    [0,0,-%i,0],
    [0,0,0,%i],
    [%i,0,0,0],
    [0,-%i,0,0]
);
e4:eigenvalues(M4)[1];

M8:matrix(
    [0,0,1,0,0,0,0,0],
    [0,0,0,0,0,0,0,1],
    [1,0,0,0,0,0,0,0],
    [0,0,0,0,0,-1,0,0],
    [0,0,0,0,0,0,-1,0],
    [0,0,0,-1,0,0,0,0],
    [0,0,0,0,-1,0,0,0],
    [0,1,0,0,0,0,0,0]
);
e8:eigenvalues(M8)[1];

Все три значения, $e2$, $e4$ и $e8$ равны одному и тому же: $$ \left[ \begin{array}{cc} -1 & 1 \end{array} \right] $$ Поскольку для $e4$ и $e8$ количество различных собственных значений меньше чем число строк матриц, эти собственные значения являются кратными.

Если представления $2\times 2$ и $4\times 4$ сами по себе содержат комплекснозначные коэффициенты, то в представлении $8\times 8$ все коэффициенты действительные. Соответственно, для построения правила коммутирования Паули $$ \sigma_x\sigma_y-\sigma_y\sigma_x=2i\sigma_z $$ в этом уравнении может быть использована мнимая единица $i$ та же, что и в самих матрицах, но в случае представления $8\times 8$ нужно вместо мнимй единицы использовать матрицу, представляющую мнимую единицу. Для этого нужно составить матрицу отвечающую компоненте $I$ бикватернионов.

Матричное представление 8x8 бикватернионов

$$ i\leftrightarrow \left( \begin{array}{rrrrrrrr} 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right) $$ Точно также можно использовать матричное представление мнимой единицы бикватернионов $I$ и для представлений $2\times 2$ и $4\times 4$, но в силу того что в них используются комплекснозначные коэффициенты такой матрице соответствует единичная матрица соответствующего размера умноженная на $i$ где $i$ берется из матричного представления. Соответственно, при переходе к такой форме уравнения использующие эту единицу становятся матричными, вообще говоря, даже если не используются матрицы $\sigma_i$.

И четвертый вариант представления собственных значений - гиперкомплексный. Используем ту же единицу, соответствующую $y$: $$ Ij $$ Для нахождения собственного значения нужно решить уравнение $$ Ijx=\lambda x $$ относительно $\lambda$, набор полученных величин и будет собственным значением. Эта задача уже рассматривалась подробно ранее:

Собственные числа бикватернионов

Кратко повторим решение. Перенесем правую часть влево и получим: $$ (Ij-\lambda)x=0 $$ У этого уравнения решение тривиально $$ Ij=\lambda $$ Но нас интересует вариант при котором $\lambda$ это действительное число. В этом случае величина $$ Ij-\lambda $$ не является нулем. И, для того чтобы уравнение решилось, величины участвующие в произведении, должны быть взаимосопряженными делителями нуля вида $$ Ij\pm 1 $$ То есть величина $\lambda$, представляющая собственные значения $Ij$, может принимать два значения: +1 и -1.

То есть гиперкомплексное представление матриц Паули так же подходит под задачу на собственные значения. Сама же задача на собственные значения возникла при описании квантовых величин по законам квантовой механики. Они были формулированы примерно около 100 лет назад. Законы квантовых явлений оказались столь необычными, что даже само их формальное описание было шагом вперед.

Гиперкомплексные спиноры, оглавление