Для получения матричного представления бикватернионов поступим также, как с кватернионами
http://thedarkaugust.blogspot.com/2016/12/4x4_16.html
А именно, если результат произведения двух гиперкомплексных чисел есть линейная комбинация как по компонентам левого, так и по компонентам правого сомножителя, то это произведение представимо в виде умножения матрицы на вектор. При этом у вектора столько компонент сколько компонент у гиперкомплексного числа, а матрица - квадратная.
Распишем в компонентах произведение x′=ax для случая когда a и x это бикватернионы и сгруппируем по компонентам до получения линейного преобразования, и приведем к виду: x′i=∑jAijxj Для этого введем соглашение о нумерации мнимых единиц чтобы зафиксировать порядок компонент: q=a0+Iiq1+Ijq2+Ikq3+Iq4+iq5+jq6+kq7 Здесь единицы i, j, k - обычные мнимые единицы кватернионов, а единица I умножается коммутативно и I2=−1.
Расписав произведение и приведя компоненты, получим что матрице Aij соответствуют компоненты бикватерниона a, если их расставлять в следующем порядке: A=(a0a1a2a3−a4−a5−a6−a7a1a0−a7a6a5a4−a3a2a2a7a0−a5a6a3a4−a1a3−a6a5a0a7−a2a1a4a4−a5−a6−a7a0−a1−a2−a3a5−a4a3−a2−a1a0−a7a6a6−a3−a4a1−a2a7a0−a5a7a2−a1−a4−a3−a6a5a0) Поскольку и матрицы и бикватернионы ассоциативны, мы произведение бикватернионов (а также сумму, произведение на действительное число) такой вот подстановкой можем заменить на матрицы и выполнять операции в матрицах.
Например, это может быть востребовано при использовании системы компьютерной алгебры, умеющей оперировать матрицами, но не умеющей оперировать выбранной алгеброй гиперкомплексных чисел.
К содержанию: Матричные представления гиперкомплексных чисел
http://thedarkaugust.blogspot.com/2016/12/4x4_16.html
А именно, если результат произведения двух гиперкомплексных чисел есть линейная комбинация как по компонентам левого, так и по компонентам правого сомножителя, то это произведение представимо в виде умножения матрицы на вектор. При этом у вектора столько компонент сколько компонент у гиперкомплексного числа, а матрица - квадратная.
Распишем в компонентах произведение x′=ax для случая когда a и x это бикватернионы и сгруппируем по компонентам до получения линейного преобразования, и приведем к виду: x′i=∑jAijxj Для этого введем соглашение о нумерации мнимых единиц чтобы зафиксировать порядок компонент: q=a0+Iiq1+Ijq2+Ikq3+Iq4+iq5+jq6+kq7 Здесь единицы i, j, k - обычные мнимые единицы кватернионов, а единица I умножается коммутативно и I2=−1.
Расписав произведение и приведя компоненты, получим что матрице Aij соответствуют компоненты бикватерниона a, если их расставлять в следующем порядке: A=(a0a1a2a3−a4−a5−a6−a7a1a0−a7a6a5a4−a3a2a2a7a0−a5a6a3a4−a1a3−a6a5a0a7−a2a1a4a4−a5−a6−a7a0−a1−a2−a3a5−a4a3−a2−a1a0−a7a6a6−a3−a4a1−a2a7a0−a5a7a2−a1−a4−a3−a6a5a0) Поскольку и матрицы и бикватернионы ассоциативны, мы произведение бикватернионов (а также сумму, произведение на действительное число) такой вот подстановкой можем заменить на матрицы и выполнять операции в матрицах.
Например, это может быть востребовано при использовании системы компьютерной алгебры, умеющей оперировать матрицами, но не умеющей оперировать выбранной алгеброй гиперкомплексных чисел.
К содержанию: Матричные представления гиперкомплексных чисел
Комментариев нет:
Отправить комментарий