Для получения матричного представления бикватернионов поступим также, как с кватернионами
http://thedarkaugust.blogspot.com/2016/12/4x4_16.html
А именно, если результат произведения двух гиперкомплексных чисел есть линейная комбинация как по компонентам левого, так и по компонентам правого сомножителя, то это произведение представимо в виде умножения матрицы на вектор. При этом у вектора столько компонент сколько компонент у гиперкомплексного числа, а матрица - квадратная.
Распишем в компонентах произведение $$ x' = ax $$ для случая когда $a$ и $x$ это бикватернионы и сгруппируем по компонентам до получения линейного преобразования, и приведем к виду: $$ x'_i = \sum\limits_j A_{ij}x_j $$ Для этого введем соглашение о нумерации мнимых единиц чтобы зафиксировать порядок компонент: $$ q=a_0+Iiq_1+Ijq_2+Ikq_3+Iq_4+iq_5+jq_6+kq_7 $$ Здесь единицы $i$, $j$, $k$ - обычные мнимые единицы кватернионов, а единица $I$ умножается коммутативно и $I^2=-1$.
Расписав произведение и приведя компоненты, получим что матрице $A_{ij}$ соответствуют компоненты бикватерниона $a$, если их расставлять в следующем порядке: $$ A=\left( \begin{array}{rrrrrrrr} a_0 & a_1 & a_2 & a_3 & -a_4 & -a_5 & -a_6 & -a_7 \\ a_1 & a_0 & -a_7 & a_6 & a_5 & a_4 & -a_3 & a_2 \\ a_2 & a_7 & a_0 & -a_5 & a_6 & a_3 & a_4 & -a_1 \\ a_3 & -a_6 & a_5 & a_0 & a_7 & -a_2 & a_1 & a_4 \\ a_4 & -a_5 & -a_6 & -a_7 & a_0 & -a_1 & -a_2 & -a_3 \\ a_5 & -a_4 & a_3 & -a_2 & -a_1 & a_0 & -a_7 & a_6 \\ a_6 & -a_3 & -a_4 & a_1 & -a_2 & a_7 & a_0 & -a_5 \\ a_7 & a_2 & -a_1 & -a_4 & -a_3 & -a_6 & a_5 & a_0 \end{array} \right) $$ Поскольку и матрицы и бикватернионы ассоциативны, мы произведение бикватернионов (а также сумму, произведение на действительное число) такой вот подстановкой можем заменить на матрицы и выполнять операции в матрицах.
Например, это может быть востребовано при использовании системы компьютерной алгебры, умеющей оперировать матрицами, но не умеющей оперировать выбранной алгеброй гиперкомплексных чисел.
К содержанию: Матричные представления гиперкомплексных чисел
http://thedarkaugust.blogspot.com/2016/12/4x4_16.html
А именно, если результат произведения двух гиперкомплексных чисел есть линейная комбинация как по компонентам левого, так и по компонентам правого сомножителя, то это произведение представимо в виде умножения матрицы на вектор. При этом у вектора столько компонент сколько компонент у гиперкомплексного числа, а матрица - квадратная.
Распишем в компонентах произведение $$ x' = ax $$ для случая когда $a$ и $x$ это бикватернионы и сгруппируем по компонентам до получения линейного преобразования, и приведем к виду: $$ x'_i = \sum\limits_j A_{ij}x_j $$ Для этого введем соглашение о нумерации мнимых единиц чтобы зафиксировать порядок компонент: $$ q=a_0+Iiq_1+Ijq_2+Ikq_3+Iq_4+iq_5+jq_6+kq_7 $$ Здесь единицы $i$, $j$, $k$ - обычные мнимые единицы кватернионов, а единица $I$ умножается коммутативно и $I^2=-1$.
Расписав произведение и приведя компоненты, получим что матрице $A_{ij}$ соответствуют компоненты бикватерниона $a$, если их расставлять в следующем порядке: $$ A=\left( \begin{array}{rrrrrrrr} a_0 & a_1 & a_2 & a_3 & -a_4 & -a_5 & -a_6 & -a_7 \\ a_1 & a_0 & -a_7 & a_6 & a_5 & a_4 & -a_3 & a_2 \\ a_2 & a_7 & a_0 & -a_5 & a_6 & a_3 & a_4 & -a_1 \\ a_3 & -a_6 & a_5 & a_0 & a_7 & -a_2 & a_1 & a_4 \\ a_4 & -a_5 & -a_6 & -a_7 & a_0 & -a_1 & -a_2 & -a_3 \\ a_5 & -a_4 & a_3 & -a_2 & -a_1 & a_0 & -a_7 & a_6 \\ a_6 & -a_3 & -a_4 & a_1 & -a_2 & a_7 & a_0 & -a_5 \\ a_7 & a_2 & -a_1 & -a_4 & -a_3 & -a_6 & a_5 & a_0 \end{array} \right) $$ Поскольку и матрицы и бикватернионы ассоциативны, мы произведение бикватернионов (а также сумму, произведение на действительное число) такой вот подстановкой можем заменить на матрицы и выполнять операции в матрицах.
Например, это может быть востребовано при использовании системы компьютерной алгебры, умеющей оперировать матрицами, но не умеющей оперировать выбранной алгеброй гиперкомплексных чисел.
К содержанию: Матричные представления гиперкомплексных чисел
Комментариев нет:
Отправить комментарий