Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/jax.js

воскресенье, 29 марта 2020 г.

Матричное представление 8x8 бикватернионов

Для получения матричного представления бикватернионов поступим также, как с кватернионами

http://thedarkaugust.blogspot.com/2016/12/4x4_16.html

А именно, если результат произведения двух гиперкомплексных чисел есть линейная комбинация как по компонентам левого, так и по компонентам правого сомножителя, то это произведение представимо в виде умножения матрицы на вектор. При этом у вектора столько компонент сколько компонент у гиперкомплексного числа, а матрица - квадратная.

Распишем в компонентах произведение x=ax для случая когда a и x это бикватернионы и сгруппируем по компонентам до получения линейного преобразования, и приведем к виду: xi=jAijxj Для этого введем соглашение о нумерации мнимых единиц чтобы зафиксировать порядок компонент: q=a0+Iiq1+Ijq2+Ikq3+Iq4+iq5+jq6+kq7 Здесь единицы i, j, k - обычные мнимые единицы кватернионов, а единица I умножается коммутативно и I2=1.

Расписав произведение и приведя компоненты, получим что матрице Aij соответствуют компоненты бикватерниона a, если их расставлять в следующем порядке: A=(a0a1a2a3a4a5a6a7a1a0a7a6a5a4a3a2a2a7a0a5a6a3a4a1a3a6a5a0a7a2a1a4a4a5a6a7a0a1a2a3a5a4a3a2a1a0a7a6a6a3a4a1a2a7a0a5a7a2a1a4a3a6a5a0) Поскольку и матрицы и бикватернионы ассоциативны, мы произведение бикватернионов (а также сумму, произведение на действительное число) такой вот подстановкой можем заменить на матрицы и выполнять операции в матрицах.

Например, это может быть востребовано при использовании системы компьютерной алгебры, умеющей оперировать матрицами, но не умеющей оперировать выбранной алгеброй гиперкомплексных чисел.

К содержанию: Матричные представления гиперкомплексных чисел

Комментариев нет:

Отправить комментарий