Циклические компоненты матриц Паули

Циклические компоненты матриц Паули не имеют собственных значений, так как не существует обратных к ним матриц и эти матрицы не являются эрмитовыми. Чем нам тут могут помочь гиперкомплексные числа, попробуем разобраться.

Циклическими компонентами матриц Паули называются их комбинации: $$ \sigma_{\pm}=\sigma_x\pm i\sigma_y $$ Перейдем к гиперкомплексному представлению матриц Паули: $$ \begin{array}{c} E\leftrightarrow 1 \\ \sigma_x\leftrightarrow -Ii \\ \sigma_y\leftrightarrow -Ij \\ \sigma_z\leftrightarrow -Ik \end{array} $$ Знаки минус здесь использованы для того чтобы правила коммутации, принятые для матриц Паули, сохранялись с сохранением знака, например $$ \sigma_x\sigma_y=i\sigma_z $$ В гиперкомплексном представлении для циклических компонент получим: $$ \sigma_{\pm}\leftrightarrow -Ii\pm j $$ Для нахождения собственных значений и собственных векторов нужно решить уравнение, где знак минус внесен в $\lambda$: $$ (Ii\mp j)x=\lambda x $$ относительно $\lambda$ и $x$, полагая что $\lambda$ должно быть действительным числом. Трансформируем уравнение: $$ (Ii\mp j - \lambda)x=x $$ Поскольку $\lambda$ должно быть действительным числом, в скобках слева стоит величина не равная нулю. Для того, чтобы уравнение имело нетривиальное решение кроме $x=0$, необходимо чтобы слева стояло произведение взаимосопряженных делителей нуля.

Поскольку величина $$ Ii\mp j $$ уже сама по себе есть делитель нуля, достаточно будет если $\lambda$ будет равно нулю: $$ \lambda = 0 $$ Поскольку произведение величины стоящей слева на ей сопряженную равно нулю: $$ (Ii\mp j)(Ii\pm j) = 0 $$ то соответственно искомые значения должны быть равны $$ \begin{array}{c} x=(Ii\pm j) \\ \lambda = 0 \end{array} $$ Если значение $x$ должно быть трактовано в векторном виде, то компоненте $Ii$ соответствует единица по полярной оси $x$, и компоненте $j$ соответствует единица по аксиальной оси $y$. Соответственно, собственный вектор здесь есть бивектор из полярной и аксиальной частей. Но такая формулировка результата может быть возможна лишь после того, как будет определено как преобразуется собственный вектор при преобразованиях Лоренца. Пока в исходной задаче нет такого уточнения, можно говорить и выборе из набора вектор, композиционная величина и спинор. Но из-за присутствия аксиальной части это не вектор 4-мерного пространства-времени, соответственно это что-то из двух оставшихся альтернатив.

Получив, что для циклических компонент матриц Паули выполняется $$ (Ii\mp j)(Ii\pm j)=0(Ii\pm j) $$ мы можем полученный собственный вектор умножать на произвольное комплексное число и результат также будет удовлетворять исходной задаче. Поскольку комплексных чисел бесконечное количество, такая задача имеет решением одно собственное значение 0 и бесконечное количество собственных векторов, имеющих общую форму $$ (c_0+Ic_1)(Ii\pm j) $$ Говорить об отсутствии собственных значений или решения характеристического уравнения в данном случае скорее всего так же неточно, как и об отсутствии решений системы линейных уравнений при нулевом определителе. Решения, конечно, есть, но их бесконечно много. Правильнее говорить об отсутствии перечислимого количества решений.

Гиперкомплексные спиноры, оглавление