Циклические компоненты матриц Паули

Циклические компоненты матриц Паули не имеют собственных значений, так как не существует обратных к ним матриц и эти матрицы не являются эрмитовыми. Чем нам тут могут помочь гиперкомплексные числа, попробуем разобраться.

Циклическими компонентами матриц Паули называются их комбинации: $$\sigma_{\pm}=\sigma_x\pm i\sigma_y$$ Перейдем к гиперкомплексному представлению матриц Паули: $$\begin{array}{c} E\leftrightarrow 1 \\ \sigma_x\leftrightarrow -Ii \\ \sigma_y\leftrightarrow -Ij \\ \sigma_z\leftrightarrow -Ik \end{array}$$ Знаки минус здесь использованы для того чтобы правила коммутации, принятые для матриц Паули, сохранялись с сохранением знака, например $$\sigma_x\sigma_y=i\sigma_z$$ В гиперкомплексном представлении для циклических компонент получим: $$\sigma_{\pm}\leftrightarrow -Ii\pm j$$ Для нахождения собственных значений и собственных векторов нужно решить уравнение, где знак минус внесен в $\lambda$: $$(Ii\mp j)x=\lambda x$$ относительно $\lambda$ и $x$, полагая что $\lambda$ должно быть действительным числом. Трансформируем уравнение: $$(Ii\mp j - \lambda)x=x$$ Поскольку $\lambda$ должно быть действительным числом, в скобках слева стоит величина не равная нулю. Для того, чтобы уравнение имело нетривиальное решение кроме $x=0$, необходимо чтобы слева стояло произведение взаимосопряженных делителей нуля.

Поскольку величина $$Ii\mp j$$ уже сама по себе есть делитель нуля, достаточно будет если $\lambda$ будет равно нулю: $$\lambda = 0$$ Поскольку произведение величины стоящей слева на ей сопряженную равно нулю: $$(Ii\mp j)(Ii\pm j) = 0$$ то соответственно искомые значения должны быть равны $$\begin{array}{c} x=(Ii\pm j) \\ \lambda = 0 \end{array}$$ Если значение $x$ должно быть трактовано в векторном виде, то компоненте $Ii$ соответствует единица по полярной оси $x$, и компоненте $j$ соответствует единица по аксиальной оси $y$. Соответственно, собственный вектор здесь есть бивектор из полярной и аксиальной частей. Но такая формулировка результата может быть возможна лишь после того, как будет определено как преобразуется собственный вектор при преобразованиях Лоренца. Пока в исходной задаче нет такого уточнения, можно говорить и выборе из набора вектор, композиционная величина и спинор. Но из-за присутствия аксиальной части это не вектор 4-мерного пространства-времени, соответственно это что-то из двух оставшихся альтернатив.

Получив, что для циклических компонент матриц Паули выполняется $$(Ii\mp j)(Ii\pm j)=0(Ii\pm j)$$ мы можем полученный собственный вектор умножать на произвольное комплексное число и результат также будет удовлетворять исходной задаче. Поскольку комплексных чисел бесконечное количество, такая задача имеет решением одно собственное значение 0 и бесконечное количество собственных векторов, имеющих общую форму $$(c_0+Ic_1)(Ii\pm j)$$ Говорить об отсутствии собственных значений или решения характеристического уравнения в данном случае скорее всего так же неточно, как и об отсутствии решений системы линейных уравнений при нулевом определителе. Решения, конечно, есть, но их бесконечно много. Правильнее говорить об отсутствии перечислимого количества решений.

Гиперкомплексные спиноры, оглавление