Инвариантное произведение спиноров

Если есть исследованное ранее скалярное произведение гиперкомплексных чисел как взятие скалярной части от произведения взаимносопряженных чисел, то также будет интересно применить это же правило к спинорным величинам. И к чему это приведет, попробуем разобраться.

Если есть преобразование векторов в некой заданной системе координат, и это преобразование есть преобразование Лоренца $$X\rightarrow LX\bar{L}^*$$ то спиноры при таких преобразованиях в этой же системе отсчета преобразуются тем же полуоператором $$\xi\rightarrow\xi\bar{L}^*$$ и получают новые значения компонент в той же системе координат, если так можно говорить о компонентах спиноров, в действительности не являющихся векторами.

Теперь возьмем два спинора $\xi$ и $\chi$, не требуя чтобы они были строго разными. Они оба преобразуются как: $$\begin{array}{c} \xi\rightarrow\xi\bar{L}^* \\ \chi\rightarrow\chi\bar{L}^* \end{array}$$ Теперь возьмем произведение взаимно сопряженных следующим образом: $$\xi\bar{\chi}\rightarrow\xi\bar{L}^*L^*\bar{\chi}$$ Выражение $L$ зависит лишь от векторных компонент своих параметров, угла $\varphi$ и быстроты $\psi$, поэтому векторное сопряжение полуоператора $L$ при отсутствии псевдоскалярного параметра одновременно является и алгебраическим: $$\bar{L}^*L^*=(\bar{L}L)^*=1$$ Таким образом, если задано преобразование компонент векторов в виде преобразования Лоренца, то произведение спиноров $$\xi\bar{\chi}$$ есть инвариант, не зависящий от параметров выбранного преобразования Лоренца.

Ранее, в теме получения векторов и композиционных величин из произведений спиноров, было найдено что для спиноров есть внутренняя степень свободы. Они могут быть дополнительно умножены слева на величину $Q$ такую, что $$\begin{array}{c} |Q|=1 \\ \xi\rightarrow Q\xi \\ Q^*=Q \end{array}$$ И в этом случае векторы и композиционные величины, образованные из спиноров, не изменятся. При этом инвариантное произведение будет преобразовываться: $$\xi\bar{\chi}\rightarrow Q\xi\bar{\chi}\bar{Q}$$ Здесь операторы $Q$, удовлетворяющие вышеприведенным условиям, выполняют вращение компонент гиперкомплексного числа $\xi\bar{\chi}$ как если бы это были векторные вращения.

В силу произвольности выбора $Q$ при сохранении условий $$\begin{array}{c} |Q|=1 \\ Q^*=Q \end{array}$$ в инвариантном произведении $\xi\bar{\chi}$ реальным инвариантом, соответственно, остаются лишь скалярная и псевдоскалярная части, которые не изменяются при вращении: $$S\rightarrow QS\bar{Q}=SQ\bar{Q}=S$$ Таким образом, для гиперкомплексных спиноров инвариантным произведением будет аналог скалярного произведения для векторов: $$\mathrm{Scl}(\xi\bar{\chi})=\mathrm{inv}$$

Гиперкомплексные спиноры, оглавление