Спиноры, векторы и углы

В название вынесены объекты, преобразующиеся по-разному. Под углами в данном случае собраны все композиционно преобразуемые величины. В чем их существенные отличия, попробуем разобраться.

Рассмотренные ранее преобразования спиноров

Спиноры и вращения
Спиноры и преобразования Лоренца

были изложением описанных преобразований систем координат: $$\begin{array}{c} \xi\rightarrow\xi L(\varphi/2) \\ \xi\rightarrow\xi L^*(\psi/2) \end{array}$$ Здесь $\varphi$ - 3-мерный угол вращения, $\psi$ - 3-мерный вектор быстроты.

Рассмотренные ранее преобразования вращения векторов и преобразования Лоренца оперировали не преобразованиями самих векторов, а преобразованиями систем координат. Преобразования же объекта в заданной системе координат и преобразования системы координат отличаются противоположным знаком параметров преобразований. Например, если объект сдвинулся по оси $X$ на 10 метров, то это означает преобразования связанной с ним системы координат на -10 метров (отличие координат тех же точек в новой системе координат от координат в прежней системе).

Для того, чтобы привести преобразования спиноров к тому же виду, что использовался для векторов и композиционных величин, сменим знаки у параметров: $$\begin{array}{c} \xi\rightarrow\xi L(-\varphi/2) \\ \xi\rightarrow\xi L^*(-\psi/2) \end{array}$$ Чтобы понять как действует объект, есть два основных способа: 1) разобрать на составляющие его шестеренки и изучать их и 2) рассматривать как взаимодействует объект с другими, в каких он находится взаимосвязях. В первом случае важны внутренние взаимосвязи, во втором - внешние. Используем второй метод и сопоставим между собой объекты различной природы по тому, как они преобразуются, не затрагивая внутреннее представление объектов в каком-либо одном фиксированном базисе.

Учитывая, что в полуоператорах $L(\varphi/2)$ и $L(\psi/2)$ смена знака параметра есть смена знака у векторного аргумента, получим что это есть операция векторного сопряжения: $$\begin{array}{c} L(-\varphi/2)=\bar{L}(\varphi/2) \\ L^*(-\varphi/2)=\bar{L}^*(\varphi/2) \end{array}$$ Теперь можем свести в одну таблицу преобразования трех различных по своей природе объектов. Итак, если при преобразованиях Лоренца векторы преобразуются как произведение на полуоператоры $$X\rightarrow LX\bar{L}^*$$ то композиционные величины, такие как углы и моменты, преобразуются с использованием того же полуоператора $$\varphi\rightarrow L\varphi\bar{L}$$ и спиноры преобразуются с использованием того же полуоператора $$\xi\rightarrow \xi\bar{L}^*$$ Здесь во всех трех выражениях полуоператор $L$ есть экспонента от половинных углов вращения и быстроты $$\begin{array}{c} L=e^{\varphi/2+\psi/2} \\ \varphi = i\varphi_5 + j\varphi_6 + k\varphi_7 \\ \psi = Ii\psi_1 + Ij\psi_2 + Ik\psi_3 \end{array}$$ Сопряжение $L^*$ есть смена знаков у единиц, в образовании которых участвовала $I$ и сопряжение $\bar{L}$ есть смена знаков у единиц, в образовании которых участвовали $i$, $j$ или $k$.

Сам характер преобразований этих трех групп объектов подсказывает, что если бы например вектор в некой системе координат сначала имел значение 1, то после серии удачно подобранных преобразований $L_x$ он может превратиться в наперед заданное значение: $$X = L_x\cdot 1\cdot \bar{L}^*_x$$ И при преобразованиях Лоренца $L$ производилось бы преобразование $$X = L_x \bar{L}^*_x\rightarrow LL_x \bar{L}^*_x\bar{L}^*$$ Рассмотрев сопряжение преобразованного спинора, получим: $$\begin{array}{c} \xi^*\rightarrow\xi^*\bar{L} \\ \bar{\xi}\rightarrow L^*\bar{\xi} \\ \bar{\xi}^*\rightarrow L\bar{\xi}^* \end{array}$$ То есть вектор $X$ преобразуется как произведение скалярно-векторно сопряженных спиноров $$X=\bar{\xi}^*_x\xi_x\rightarrow L\bar{\xi}^*_x\xi_x\bar{L}^*$$ И композиционно преобразуемые величины преобразуются как произведения векторно сопряженных спиноров: $$\varphi=\bar{\xi}_{\varphi}\xi_{\varphi}\rightarrow L^*\bar{\xi}_{\varphi}\xi_{\varphi}\bar{L}^*$$ Если полагать что существуют такие спиноры, что для произвольно заданных вектора $X$ и композиционной величины $\varphi$ найдутся такие соответствующие им спиноры, что $$\begin{array}{c} X = \bar{\xi}^*_x\xi_x \\ \varphi=\bar{\xi}_{\varphi}\xi_{\varphi} \end{array}$$ то таких спиноров должно быть бесконечное количество. Поскольку мы всегда можем умножить спинор слева на такую величину $Q$, что выполняется условие $$\begin{array}{c} |Q|=1 \\ Q^*=Q \end{array}$$ Для таких величин выполняется, как следствие, условие: $$\begin{array}{c} \bar{Q}^*=\bar{Q} \\ (Q\xi)^*=Q\xi^* \\ \overline{(Q\xi)}=\overline{\xi}\; \overline{Q} \\ \overline{(Q\xi)}^*=\overline{\xi}^*\overline{Q}^*= \overline{\xi}^*\overline{Q} \end{array}$$ Поскольку произведение спиноров на им сопряженные равны $\bar{Q}Q=1$ также должно выполняться: $$\begin{array}{c} \bar{\xi}^*_x\xi_x\rightarrow \bar{\xi}^*\bar{Q}Q\xi_x=\bar{\xi}^*\xi_x \\ \bar{\xi}_{\varphi}\xi_{\varphi}\rightarrow \bar{\xi}_{\varphi}\bar{Q}Q\xi_{\varphi}= \bar{\xi}_{\varphi}\xi_{\varphi} \end{array}$$ То есть при выполнении условия $Q^*=Q$ для каждого вектора $X$ и композиционной величины $\varphi$ существует бесконечное количество таких $\xi_x$ и $\xi_{\varphi}$. Если найдется процедура нахождения одного из таких значений $\xi_x$ или $\xi_{\varphi}$ для наперед заданных $X$ и $\varphi$, то это будет нахождение одной из величин из бесконечного количества.

Также можно доказать, что все спиноры могут быть умножены слева на некий кватернион $Q$, такой что $|Q|=1$ и образованные из них соответствующие им векторы и композиционные величины не изменятся. Очевидно, что для уравнений с производными следует добавлять условие константности такого преобразования $Q$.

Гиперкомплексные спиноры, оглавление