Спинорное исчисление. БСЭ.и попробуем разобраться.
Возьмем за исходные данные цитату о преобразовании спиноров:
При повороте системы координат на угол $\Theta$ вокруг оси с направляющими косинусами $\cos\chi_1$, $\cos\chi_2$, $\cos\chi_3$ компоненты спинора первой валентности, задаваемые двумя комплексными числами $\left(\xi^1, \xi^2\right)$, преобразуются по формулам $$ \begin{array}{c} {\xi^1}' = \alpha\xi^1+\beta\xi^2 \\ {\xi^2}'=\gamma\xi^1+\delta\xi^2 \end{array} $$ где коэффициенты матрицы преобразования равны: $$ \begin{array}{c} \alpha=\lambda+i\mu \\ \beta=\nu+i\rho \\ \gamma=-\bar{\beta} \\ \delta = \bar{\alpha} \\ \lambda = \cos\Theta/2 \\ \mu = \sin\Theta/2\cos\chi_1 \\ \nu=\sin\Theta/2\cos\chi_2\\ \rho=\sin\Theta/2\cos\chi_3 \end{array} $$ Поскольку компоненты спинора есть комплексные числа, можем обозначить их покомпонентно: $$ \begin{array}{c} \xi^1=\xi^1_0+i\xi^1_1 \\ \xi^2=\xi^2_0+i\xi^2_1 \end{array} $$ Подставим комплексные развернутые выражения в уравнения преобразования: $$ \begin{array}{c} {\xi^1_0}'+i{\xi^1_1}'=(\lambda+i\mu)(\xi^1_0+i\xi^1_1)+ (\nu+i\rho)(\xi^2_0+i\xi^2_1)\\ {\xi^2_0}'+i{\xi^2_1}'=-(\nu-i\rho)(\xi^1_0+i\xi^1_1)+ (\lambda-i\mu)(\xi^2_0+i\xi^2_1) \end{array} $$ Раскрыв скобки и учтя правило равенства комплексных чисел при равенстве их компонентов, получим 4 уравнения: $$ \left\{ \begin{array}{l} {\xi^1_0}'=\lambda\xi^1_0-\mu\xi^1_1+\nu\xi^2_0-\rho\xi^2_0 \\ {\xi^1_1}'=\mu\xi^1_0+\lambda\xi^1_1+\rho\xi^2_0+\nu\xi^2_0 \\ {\xi^2_0}'=-\nu\xi^1_0-\rho\xi^1_1+\lambda\xi^2_0+\mu\xi^2_0 \\ {\xi^2_1}'=\rho\xi^1_0-\nu\xi^1_1-\mu\xi^2_0+\lambda\xi^2_0 \\ \end{array} \right. $$ Теперь обратимся к кватернионам. Пусть есть кватернион $$ x=x_0+ix_1+jx_2+kx_3 $$ и он умножается справа на кватернион $$ a=a_0+ia_1+ja_2+ka_3 $$ Таким образом, что получается $$ x'=xa $$ Раскроем это произведение покомпонентно: $$ \begin{array}{c} (x_0+ix_1+jx_2+kx_3)(a_0+ia_1+ja_2+ka_3)= \\ =a_0x_0-a_1x_1-a_2x_2-z_3x_3+\\ +i(a_1x_0+a_0x_1+a_3x_2-a_2x_3)+\\ +j(a_2x_0-a_3x_1+a_0x_2+a_1x_3)+\\ +k(a_3x_0+a_2x_1-a_1x_2+a_0x_3) \end{array} $$ Сравним это выражение с полученной ранее системой уравнений. Они соответствуют друг другу, как если бы спинор $\xi$ был представлен кватернионом $$ \xi=\xi^1_0+i\xi^1_1+j\xi^2_0+k\xi^2_1 $$ и применялся кватернион преобразования $$ a=\lambda+i\mu-j\nu+k\rho $$ умножаемый справа: $$ \xi'=\xi a $$ Учитывая сформулированное ранее определение величин $\lambda$, $\mu$, $\nu$ и $\rho$, можем представить кватернион преобразования $a$ в более традиционном для кватернионов виде $$ a=e^{\varphi/2} $$ где $\varphi$ - угол поворота системы координат и вектор угла задан как: $$ \varphi=i\varphi_1+j\varphi_2+k\varphi_3 $$ От этих обозначений несложно перейти к исходным через: $$ \Theta=\sqrt{\varphi_1^2+\varphi_2^2+\varphi_3^2} $$ $$ \cos\chi_1=\frac{\varphi_1}{\sqrt{\varphi_1^2+\varphi_2^2+\varphi_3^2}} $$ $$ \cos\chi_2=\frac{\varphi_2}{\sqrt{\varphi_1^2+\varphi_2^2+\varphi_3^2}} $$ $$ \cos\chi_3=\frac{\varphi_3}{\sqrt{\varphi_1^2+\varphi_2^2+\varphi_3^2}} $$ Очевидно, что для направляющих косинусов автоматически выполняется соотношение суммы их квадратов: $$ \cos^2\chi_1+\cos^2\chi_2+\cos^2\chi_3=1 $$ Важным выводом может стать заключение о том, что при преобразовании вращения векторов, представляемого обычно с помощью произведения вектора на полуоператоры $$ x'=e^{\varphi/2}xe^{-\varphi/2} $$ спиноры преобразуются с помощью того же полуоператора, но с умножением только с одной стороны: $$ \xi'=\xi e^{\varphi/2} $$ $$ e^{\varphi/2}=\cos\frac{|\varphi|}{2}+ \sin\frac{|\varphi|}{2}\left(i\frac{\varphi_1}{|\varphi|}+ j\frac{\varphi_2}{|\varphi|}+ k\frac{\varphi_3}{|\varphi|}\right) $$
Гиперкомплексные спиноры, оглавление
Комментариев нет:
Отправить комментарий