Спиноры и вращение

Можно ли представить спиноры гиперкомплексными числами? Если да, то как именно? Рассмотрим операцию вращения спиноров при вращении векторов при переходе от одной системы координат к другой. Используем в качестве источника статью

Спинорное исчисление. БСЭ.

и попробуем разобраться.

Возьмем за исходные данные цитату о преобразовании спиноров:

При повороте системы координат на угол $\Theta$ вокруг оси с направляющими косинусами $\cos\chi_1$, $\cos\chi_2$, $\cos\chi_3$ компоненты спинора первой валентности, задаваемые двумя комплексными числами $\left(\xi^1, \xi^2\right)$, преобразуются по формулам $$\begin{array}{c} {\xi^1}' = \alpha\xi^1+\beta\xi^2 \\ {\xi^2}'=\gamma\xi^1+\delta\xi^2 \end{array}$$ где коэффициенты матрицы преобразования равны: $$\begin{array}{c} \alpha=\lambda+i\mu \\ \beta=\nu+i\rho \\ \gamma=-\bar{\beta} \\ \delta = \bar{\alpha} \\ \lambda = \cos\Theta/2 \\ \mu = \sin\Theta/2\cos\chi_1 \\ \nu=\sin\Theta/2\cos\chi_2\\ \rho=\sin\Theta/2\cos\chi_3 \end{array}$$ Поскольку компоненты спинора есть комплексные числа, можем обозначить их покомпонентно: $$\begin{array}{c} \xi^1=\xi^1_0+i\xi^1_1 \\ \xi^2=\xi^2_0+i\xi^2_1 \end{array}$$ Подставим комплексные развернутые выражения в уравнения преобразования: $$\begin{array}{c} {\xi^1_0}'+i{\xi^1_1}'=(\lambda+i\mu)(\xi^1_0+i\xi^1_1)+ (\nu+i\rho)(\xi^2_0+i\xi^2_1)\\ {\xi^2_0}'+i{\xi^2_1}'=-(\nu-i\rho)(\xi^1_0+i\xi^1_1)+ (\lambda-i\mu)(\xi^2_0+i\xi^2_1) \end{array}$$ Раскрыв скобки и учтя правило равенства комплексных чисел при равенстве их компонентов, получим 4 уравнения: $$\left\{ \begin{array}{l} {\xi^1_0}'=\lambda\xi^1_0-\mu\xi^1_1+\nu\xi^2_0-\rho\xi^2_0 \\ {\xi^1_1}'=\mu\xi^1_0+\lambda\xi^1_1+\rho\xi^2_0+\nu\xi^2_0 \\ {\xi^2_0}'=-\nu\xi^1_0-\rho\xi^1_1+\lambda\xi^2_0+\mu\xi^2_0 \\ {\xi^2_1}'=\rho\xi^1_0-\nu\xi^1_1-\mu\xi^2_0+\lambda\xi^2_0 \\ \end{array} \right.$$ Теперь обратимся к кватернионам. Пусть есть кватернион $$x=x_0+ix_1+jx_2+kx_3$$ и он умножается справа на кватернион $$a=a_0+ia_1+ja_2+ka_3$$ Таким образом, что получается $$x'=xa$$ Раскроем это произведение покомпонентно: $$\begin{array}{c} (x_0+ix_1+jx_2+kx_3)(a_0+ia_1+ja_2+ka_3)= \\ =a_0x_0-a_1x_1-a_2x_2-z_3x_3+\\ +i(a_1x_0+a_0x_1+a_3x_2-a_2x_3)+\\ +j(a_2x_0-a_3x_1+a_0x_2+a_1x_3)+\\ +k(a_3x_0+a_2x_1-a_1x_2+a_0x_3) \end{array}$$ Сравним это выражение с полученной ранее системой уравнений. Они соответствуют друг другу, как если бы спинор $\xi$ был представлен кватернионом $$\xi=\xi^1_0+i\xi^1_1+j\xi^2_0+k\xi^2_1$$ и применялся кватернион преобразования $$a=\lambda+i\mu-j\nu+k\rho$$ умножаемый справа: $$\xi'=\xi a$$ Учитывая сформулированное ранее определение величин $\lambda$, $\mu$, $\nu$ и $\rho$, можем представить кватернион преобразования $a$ в более традиционном для кватернионов виде $$a=e^{\varphi/2}$$ где $\varphi$ - угол поворота системы координат и вектор угла задан как: $$\varphi=i\varphi_1+j\varphi_2+k\varphi_3$$ От этих обозначений несложно перейти к исходным через: $$\Theta=\sqrt{\varphi_1^2+\varphi_2^2+\varphi_3^2}$$ $$\cos\chi_1=\frac{\varphi_1}{\sqrt{\varphi_1^2+\varphi_2^2+\varphi_3^2}}$$ $$\cos\chi_2=\frac{\varphi_2}{\sqrt{\varphi_1^2+\varphi_2^2+\varphi_3^2}}$$ $$\cos\chi_3=\frac{\varphi_3}{\sqrt{\varphi_1^2+\varphi_2^2+\varphi_3^2}}$$ Очевидно, что для направляющих косинусов автоматически выполняется соотношение суммы их квадратов: $$\cos^2\chi_1+\cos^2\chi_2+\cos^2\chi_3=1$$ Важным выводом может стать заключение о том, что при преобразовании вращения векторов, представляемого обычно с помощью произведения вектора на полуоператоры $$x'=e^{\varphi/2}xe^{-\varphi/2}$$ спиноры преобразуются с помощью того же полуоператора, но с умножением только с одной стороны: $$\xi'=\xi e^{\varphi/2}$$ $$e^{\varphi/2}=\cos\frac{|\varphi|}{2}+ \sin\frac{|\varphi|}{2}\left(i\frac{\varphi_1}{|\varphi|}+ j\frac{\varphi_2}{|\varphi|}+ k\frac{\varphi_3}{|\varphi|}\right)$$

Гиперкомплексные спиноры, оглавление