Уравнения типа Клейна-Гордона с моментами

Рассмотренные ранее уравнения дираковского типа можно использовать для построения уравнений типа Клейна-Гордона. При этом в уравнение начинают входить величины, которые преобразуются как композиционные. То есть могут быть, например, углами или моментами.

Возьмем исходные уравнения, уравнения дираковского типа, соответствующие принципу относительности Пуанкаре: $$ \begin{array}{c} u^*\bar{\partial}\bar{\xi}=\bar{\xi} \\ \partial v\bar{\xi}=\bar{\xi} \end{array} $$ Напомним, что при преобразовании векторов преобразованиями Лоренца $$ x\rightarrow\psi x \bar{\psi}^* $$ используемые величины преобразуются соответственно: $$ \begin{array}{c} \xi\rightarrow\xi\bar{\psi}^* \\ \bar{\xi}\rightarrow\psi^*\bar{\xi} \\ \partial\rightarrow\psi^*\partial\bar{\psi} \end{array} $$ И векторные величины $u$ и $v$ преобразуются как векторы, соответственно: $$ \begin{array}{c} u^*\rightarrow\psi^*u^*\bar{\psi} \\ v\rightarrow\psi v\bar{\psi}^* \end{array} $$ Возьмем второе уравнение из исходных: $$ \partial v\bar{\xi}=\bar{\xi} $$ Здесь величина $\partial v$ действует на сопряженный спинор $\bar{\xi}$ и в правой части стоит также тот же самый $\bar{\xi}$. В первом из исходных уравнений $$ u^*\bar{\partial}\bar{\xi}=\bar{\xi} $$ величина $u^*\bar{\partial}$ действует на $\bar{\xi}$ и в правой части также стоит $\bar{\xi}$. Возьмем эту величину $u^*\bar{\partial}$ и подействуем ей на обе части второго уравнения: $$ u^*\bar{\partial}\partial v\bar{\xi}=u^*\bar{\partial}\bar{\xi} $$ Поскольку правая часть равна $$ u^*\bar{\partial}\bar{\xi}=\bar{\xi} $$ то и левая часть равна: $$ u^*\bar{\partial}\partial v\bar{\xi}=\bar{\xi} $$ Точно так же мы можем применить элемент из второго вравнения к первому из исходных и получить: $$ \partial vu^*\bar{\partial}\bar{\xi}=\bar{\xi} $$ Очевидно, что если бы в качестве исходных уравнений мы использовали вариант уравнений с массами, то в правых частях мы получили бы величины $m^2\bar{\xi}$.

Величины вида $$ \begin{array}{c} u^*v \\ vu^* \end{array} $$ при преобразованиях Лоренца преобразуются как: $$ \begin{array}{c} u^*v\rightarrow\psi^*u^*\bar{\psi}\psi v\bar{\psi}^*= \psi^*u^* v\bar{\psi}^* \\ vu^*\rightarrow\psi vu^*\bar{\psi} \end{array} $$ То есть это композиционные величины, например моменты. И они преобразуются скалярно сопряженно друг другу.

Оба полученные уравнения содержат и взаимно сопряженные операторы дифференцирования и спиноры, поэтому могут быть отнесены к уравнениям типа Клейна-Гордона. Но при этом включают величины относящиеся к моментам. Поэтому они могут быть названы кравнениями типа Клейна-Гордона с моментами.

Итого, получаем два уравнения: $$ \begin{array}{c} u^*\bar{\partial}\partial v\bar{\xi}=\bar{\xi} \\ \partial vu^*\bar{\partial}\bar{\xi}=\bar{\xi} \end{array} $$ Кроме того, в силу равенства правых частей должны быть равны также и левые: $$ u^*\bar{\partial}\partial v\bar{\xi}= \partial vu^*\bar{\partial}\bar{\xi} $$

Гиперкомплексные спиноры, оглавление