Рассмотренные ранее уравнения дираковского типа можно использовать для построения уравнений типа Клейна-Гордона. При этом в уравнение начинают входить величины, которые преобразуются как композиционные. То есть могут быть, например, углами или моментами.
Возьмем исходные уравнения, уравнения дираковского типа, соответствующие принципу относительности Пуанкаре:
u∗ˉ∂ˉξ=ˉξ∂vˉξ=ˉξ
Напомним, что при преобразовании векторов преобразованиями Лоренца
x→ψxˉψ∗
используемые величины преобразуются соответственно:
ξ→ξˉψ∗ˉξ→ψ∗ˉξ∂→ψ∗∂ˉψ
И векторные величины u и v преобразуются как векторы, соответственно:
u∗→ψ∗u∗ˉψv→ψvˉψ∗
Возьмем второе уравнение из исходных:
∂vˉξ=ˉξ
Здесь величина ∂v действует на сопряженный спинор ˉξ и в правой части стоит также тот же самый ˉξ. В первом из исходных уравнений
u∗ˉ∂ˉξ=ˉξ
величина u∗ˉ∂ действует на ˉξ и в правой части также стоит ˉξ. Возьмем эту величину u∗ˉ∂ и подействуем ей на обе части второго уравнения:
u∗ˉ∂∂vˉξ=u∗ˉ∂ˉξ
Поскольку правая часть равна
u∗ˉ∂ˉξ=ˉξ
то и левая часть равна:
u∗ˉ∂∂vˉξ=ˉξ
Точно так же мы можем применить элемент из второго вравнения к первому из исходных и получить:
∂vu∗ˉ∂ˉξ=ˉξ
Очевидно, что если бы в качестве исходных уравнений мы использовали вариант уравнений с массами, то в правых частях мы получили бы величины m2ˉξ.
Величины вида
u∗vvu∗
при преобразованиях Лоренца преобразуются как:
u∗v→ψ∗u∗ˉψψvˉψ∗=ψ∗u∗vˉψ∗vu∗→ψvu∗ˉψ
То есть это композиционные величины, например моменты. И они преобразуются скалярно сопряженно друг другу.
Оба полученные уравнения содержат и взаимно сопряженные операторы дифференцирования и спиноры, поэтому могут быть отнесены к уравнениям типа Клейна-Гордона. Но при этом включают величины относящиеся к моментам. Поэтому они могут быть названы кравнениями типа Клейна-Гордона с моментами.
Итого, получаем два уравнения:
u∗ˉ∂∂vˉξ=ˉξ∂vu∗ˉ∂ˉξ=ˉξ
Кроме того, в силу равенства правых частей должны быть равны также и левые:
u∗ˉ∂∂vˉξ=∂vu∗ˉ∂ˉξ
Гиперкомплексные спиноры, оглавление
Комментариев нет:
Отправить комментарий