Спиноры и преобразование Лоренца

Ранее мы рассмотрели как можно выразить вращение спинора в гиперкомплексных числах:

Спиноры и вращение

Далее проолжим исследование и рассмотрим как преобразуются спиноры при преобразовании Лоренца применяемом к векторам, то есть при переходе к другой системе координат.

Снова используем цитату из БСЭ:

Спинорное исчисление. БСЭ.

При преобразованиях Лоренца, соответствующих переходу от $0XYZ$ к $0'X'Y'Z'$, компоненты спинора $(\xi^1, \xi^2)$ преобразуются по формулам $$\begin{array}{c} {\xi^1}'=\alpha\xi^1+\beta\xi^2 \\ {\xi^2}'=\gamma\xi^1+\delta\xi^2 \end{array}$$ $$\begin{array}{c} \alpha=\lambda+\mu \\ \beta = \nu+i\rho \\ \gamma = \bar{\beta} \\ \delta=\lambda-\mu \\ \lambda = \mathrm{ch}\Theta/2 \\ \mu = \mathrm{sh}\Theta/2\cos\chi_1\\ \nu = \mathrm{sh}\Theta/2\cos\chi_2\\ \rho = \mathrm{sh}\Theta/2\cos\chi_3 \end{array}$$ Поскольку компоненты спинора есть комплексные числа, можем обозначить их покомпонентно: $$\begin{array}{c} \xi^1=\xi^1_0+i\xi^1_1 \\ \xi^2=\xi^2_0+i\xi^2_1 \\ \end{array}$$ Подставим комплексные развернутые выражения в уравнения преобразования: $$\begin{array}{c} {\xi^1_0}'+i{\xi^1_1}'=(\lambda+\mu)(\xi^1_0+i\xi^1_1)+ (\nu+i\rho)(\xi^2_0+i\xi^2_1) \\ {\xi^2_0}'+i{\xi^2_1}'=(\nu-i\rho)(\xi^1_0+i\xi^1_1)+ (\lambda-\mu)(\xi^2_0+i\xi^2_1) \end{array}$$ Раскроем скобки и учтем, что гиперкомплексные числа считаются равными если равны их компоненты. $$\left\{ \begin{array}{l} {\xi^1_0}'=(\lambda+\mu)\xi^1_0+\nu\xi^2_0-\rho\xi^2_1 \\ {\xi^1_1}'=(\lambda+\mu)\xi^1_1+\rho\xi^2_0+\nu\xi^2_1 \\ {\xi^2_0}'=\nu\xi^1_0+\rho\xi^1_1+(\lambda-\mu)\xi^2_0 \\ {\xi^2_1}'=-\rho\xi^1_0+\nu\xi^1_1+(\lambda-\mu)\xi^2_1 \end{array} \right.$$ Сравним полученную систему уравнений с матричным симплектическим представлением бикватернионов

Матричное представление 2x2 бикватернионов

Но при этом предварительно найдем, чему равна экспонента от быстроты в полуоператоре преобразования Лоренца: $$\begin{array}{c} e^{\psi/2}=e^{Ii\psi_1/2+Ij\psi_2/2+Ik\psi_3/2}=\\ =\mathrm{ch}(|\psi|/2)+\mathrm{sh}(|\psi|/2)(Ii\psi_1+ Ij\psi_2+Ik\psi_3)/|\psi| \\ |\psi|=\sqrt{\psi_1^2+\psi_2^2+\psi_3^2} \end{array}$$ Здесь были сокращены деления на 2 где это возможно. Этот же полуоператор может быть выражен в использованных ранее обозначениях: $$L=\lambda+Ii\mu+Ij\nu+Ik\rho$$ Используем первую половину, соответствующую нашим единицам, симплектического представления бикватернионов: $$\lambda: 1\leftrightarrow\left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right)$$ $$\mu: Ii\leftrightarrow\left( \begin{array}{cc} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right)$$ $$\nu: Ij\leftrightarrow\left( \begin{array}{cc} 0 & i \\ -i & 0 \end{array} \right)$$ $$\rho: Ik\leftrightarrow\left( \begin{array}{cc} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{array} \right)$$ Получим после подстановки матрицу: $$\left( \begin{array}{cc} \lambda-\mu & -\rho+i\nu \\ -\rho-i\nu & \lambda+\mu \end{array} \right)$$ Если перейти к сопряженному полуоператору и сменить знаки у единиц, в образовании которых участвовала единица $I$, то получим: $$L^*=\lambda-Ii\mu-Ij\nu-Ik\rho$$ $$\left( \begin{array}{cc} \lambda+\mu & \rho-i\nu \\ \rho+i\nu & \lambda-\mu \end{array} \right)$$ И сделаем замену обозначений, переставив местами $\rho$ и $\nu$, сменив ориентацию базисных матричных единиц левая - правая: $$L^*=\lambda-Ii\mu-Ij\rho-Ik\nu$$ $$L^*=\left( \begin{array}{cc} \lambda+\mu & \nu-i\rho \\ \nu+i\rho & \lambda-\mu \end{array} \right)$$ Несложно видеть, что исходную систему уравнений мы можем получить, умножая вектор-строку из компонент спинора $$\left( \begin{array}{cc} \xi^1_0+i\xi^1_1 & \xi^2_0+i\xi^2_1 \end{array} \right)$$ справа на матрицу $$\left( \begin{array}{cc} \lambda+\mu & \nu-i\rho \\ \nu+i\rho & \lambda-\mu \end{array} \right)$$ Если спинор представить как вектор-строку $$\xi=\left( \begin{array}{cc} \xi^1_0+i\xi^1_1 & \xi^2_0+i\xi^2_1 \end{array} \right)$$ а скалярно-сопряженный полуоператор преобразования Лоренца в симплектическом представлении бикватерниона $$L^*=\left( \begin{array}{cc} \lambda+\mu & \nu-i\rho \\ \nu+i\rho & \lambda-\mu \end{array} \right)$$ то получим $$\xi'=\xi L^*$$ Здесь полуоператор преобразования Лоренца в использованных ранее обозначениях имеет вид: $$\left( \begin{array}{cc} \mathrm{ch}(|\psi|/2)+\mathrm{sh}(|\psi|/2)\cos\chi_1 & \mathrm{sh}(|\psi|/2)(\cos\chi_2-i\cos\chi_3) \\ \mathrm{sh}(|\psi|/2)(\cos\chi_2+i\cos\chi_3) & \mathrm{ch}(|\psi|/2)-\mathrm{sh}(|\psi|/2)\cos\chi_1 \end{array} \right)$$ Важным здесь является тот факт, что как и в случае 3-мерного вращения преобразование спинора задается как умножение справа на такой же полуоператор который используется и при преобразовании векторов. Но умножение производится лишь с одной стороны: $$\xi'=\xi L^*$$ Исходные выражения для преобразований компонент спиноров, приведенные в БСЭ, выглядят несколько непонятно по своему происхождению. Но вот в гиперкомплексном представлении оба полуоператора выглядят довольно привычно.

Гиперкомплексные спиноры, оглавление