Симплектическое представление и спиноры

В проведенных ранее исследованиях

Спиноры и вращения
Спиноры и преобразования Лоренца

мы выяснили, что при преобразовании векторов при смене системы координат спиноры так;е испытывают преобразование тем же полуоператором, но умножаемым лишь с одной стороны. Мы можем выразить спинор в виде гиперкомплексных чисел, или есть ли между ними соответствие? Попробуем разобраться.

Обратимся к преобразованию Лоренца, рассмотренному ранее. Оно оказалось сформулированным в симплектическом представлении бикватернионов. А рассмотренное еще ранее преобразование вращения в виде матрицы $4\times 4$ с действительными коэффициентами. Но оба эти варианта есть произведение гиперкомплексных чисел и оба приводимы к аналитическому представлению, в виде произведений матриц $2\times 2$ с комплексными коэффициентами.

Снова приведем полную таблицу соответствия мнимых единиц бикватернионов матрицам $$ 1 \Leftrightarrow \left( \begin{array}{rr} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right) $$ $$ Ii \Leftrightarrow \left( \begin{array}{rr} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right) $$ $$ Ij \Leftrightarrow \left( \begin{array}{rr} 0 & i \\ -i & 0 \end{array} \right) $$ $$ Ik \Leftrightarrow \left( \begin{array}{rr} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{array} \right) $$ \begin{equation} I \Leftrightarrow \left( \begin{array}{rr} i & 0 \\ 0 & i \end{array} \right) \end{equation} $$ i \Leftrightarrow \left( \begin{array}{rr} i & 0 \\ 0 & -i \end{array} \right) $$ $$ j \Leftrightarrow \left( \begin{array}{rr} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{array} \right) $$ $$ k \Leftrightarrow \left( \begin{array}{rr} 0 & i \\ i & 0 \end{array} \right) $$ И потому, если есть бикватернион $$ x = x_0+Iix_1+Ijx_2+Ikx_3+Ix_4+ix_5+jx_6+kx_7 $$ то его матричное представление $2\times 2$ будет иметь вид: $$ \left( \begin{array}{cc} x_0-x_1+i(x_4+x_5) & -x_3+x_6+i(x_2+x_7) \\ -x_3-x_6+i(-x_2+x_7) & x_0+x_1+i(x_4-x_5) \end{array} \right) $$ Соответственно, рассмотренному ранее спинору как матрице-строке соответствует первая строка.

И если и спинор и полуоператор преобразования представлены одинаково, в виде матриц $2\times 2$ с комплексными коэффициентами, либо в виде гиперкомплексных чисел, то может быть использовано их соответствуующее форме произведение - либо матриц либо гиперкомплексных чисел.

Но если спинор задан в виде пары комплексных чисел $$ \left( \begin{array}{cc} \xi^1 & \xi^2 \end{array} \right) $$ то им соответствует набор сумм и разностей компонент бикватерниона: $$ \begin{array}{c} \xi^1 = x_0-x_1+i(x_4+x_5) \\ \xi^2 = -x_3+x_6+i(x_2+x_7) \end{array} $$ Очевидно, что без знания значений второй строки коэффициенты $x_i$ по значениям $\xi^1$ и $\xi^2$ не восстановить. И если заданы лишь значения $\xi^1$ и $\xi^2$, то дальнейшие операции возможны лишь в виде матрицы - строки или транспонированной матрицы - столбца.

Из представления мнимых единиц матрицы $2\times 2$ следуют занятные свойства преобразований спиноров.

Если рассмотреть единицу $j$ в ее матричном представлении $$ j \Leftrightarrow \left( \begin{array}{rr} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{array} \right) $$ то умножение на такую матрицу соответствует перестановка со сменой знаков: $$ \left( \begin{array}{cc} \xi^1 & \xi^2 \end{array} \right) \left( \begin{array}{rr} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{cc} -\xi^2 & \xi^1 \end{array} \right) $$ $$ \begin{array}{c} \xi^1\rightarrow-\xi^2 \\ \xi^2\rightarrow\xi^1 \end{array} $$ Умножению на $j$ соответствует, как было выявлено в теме

Спиноры и вращения

полуоператор преобразования вращения на угол $\pi$ вокруг орты $j$ (ось $y$ в более простых обозначениях).

Другим занятным преобразованием, следующим из представления единиц матрицы, является умножение на величину $$ \frac{1+Ii}{2}\leftrightarrow \frac{1}{2} \left( \begin{array}{cc} 1 - 1 & 0 \\ 0 & 1 + 1 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right) $$ Умножение на такую матрицу соответствует $$ \left( \begin{array}{cc} \xi^1 & \xi^2 \end{array} \right) \left( \begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{cc} 0 & \xi^2 \end{array} \right) $$ Умножение на полуоператор $(1+Ii)/2$ соответствует дополнение преобразований Лоренца движением со скоростью света в направлении оси $Ii$. Подробнее это преобразование описано в исследовании

Движение света

Следствием такого преобразования является утрачивание информации о величине $\xi^1$ как компоненты, независимой от $\xi^2$. Все дальнейшие преобразования, применяемые к такому спинору, будут давать в результате компоненту $\xi^1$, линейно зависящую от $\xi^2$.

Преобразование $$ \frac{Ik+j}{2}\leftrightarrow \frac{1}{2} \left( \begin{array}{cc} 0 & -1+1 \\ -1-1 & 0 \end{array} \right) $$ раскладывается на произведение $(Ii+1)j$ уже рассмотренных выше преобразований.

Гиперкомплексные спиноры, оглавление