Processing math: 100%

среда, 17 апреля 2024 г.

Оператор дифференцирования и спинор

Если есть уравнение, содержащее в левой части и оператор дифференцирования и спинор, а в правой части спинор умноженный на скаляр, то возникает вопрос - как выглядит такое уравнение при преобразованиях Лоренца? Попробуем разобраться.

В некотором смысле задача выглядит как задача на собственные значения оператора дифференцирования в применении к спинору.

Положим, что в левой части стоит оператор дифференцирования умноженный на спинор ξ, то есть воздействующий на него: ξ И что в правой части стоит спинор ξ, умноженный на некий скаляр. В силу инвариантности скаляра относительно преобразований Лоренца просто опустим его и получим ξ=ξ В книге "Преобразования гиперкомплексных чисел" приводилось как преобразуется оператор дифференцирования если вектора преобразуются преобразованием Лоренца: xψxˉψψˉψ Здесь используется вариант оператора дифференцирования =x0+Iix1+Ijx2+Ikx3 Если используем исходное уравнение ξ=ξ то оно должно преобразовываться как ψˉψξˉψ=ξˉψ В силу того, что результат зависит от значения ψ, такая форма не соответствует принципу относительности Пуанкаре.

Чтобы уравнение соответствовало принципу относительности Пуанкаре, в нем левая и правая части должны преобразовываться одинаково для различных наблюдателей.

Слева стоит три полуоператора ψ и справа один. Поэтому путем применения сопряжений найдем такую форму для левой части, чтобы два из них сократились.

Оператор заменим на ˉ и спинор ξ заменим на ˉξ: ˉψˉˉψˉξψˉξˉˉψψˉˉψψˉξ=ψˉˉξ Соответственно, и правую часть мы должны заменить на ˉξ: ˉξψˉξ Итого, исходное уравнение ξ=ξ для соответствия принципу относительности Пуанкаре должно быть заменено на ˉˉξ=ˉξ и при преобразовании векторов преобразованием Лоренца оно преобразуется как ψˉˉξ=ψˉξ Здесь и левая и правая части для различных наблюдателей преобразуются одинаково.

При такой замене уравнение соответствует принципу относительности Пуанкаре для варианта ˉˉξ=ˉξ для тех спиноров, для которых выполняется условие ξ=ξ Но в целом, для произвольно выбранных спиноров, принцип относительности Пуанкаре в таких уравнениях не выполняется и требуется использование в левой и правой частях спиноров с разным сопряжением.

Гиперкомплексные спиноры, оглавление

Комментариев нет:

Отправить комментарий