Оператор дифференцирования и спинор

Если есть уравнение, содержащее в левой части и оператор дифференцирования и спинор, а в правой части спинор умноженный на скаляр, то возникает вопрос - как выглядит такое уравнение при преобразованиях Лоренца? Попробуем разобраться.

В некотором смысле задача выглядит как задача на собственные значения оператора дифференцирования в применении к спинору.

Положим, что в левой части стоит оператор дифференцирования $\partial$ умноженный на спинор $\xi$, то есть воздействующий на него: $$ \partial\xi $$ И что в правой части стоит спинор $\xi$, умноженный на некий скаляр. В силу инвариантности скаляра относительно преобразований Лоренца просто опустим его и получим $$ \partial\xi = \xi $$ В книге "Преобразования гиперкомплексных чисел" приводилось как преобразуется оператор дифференцирования если вектора преобразуются преобразованием Лоренца: $$ \begin{array}{c} x\rightarrow \psi x\bar{\psi}^* \\ \partial\rightarrow\psi^*\partial\bar{\psi} \end{array} $$ Здесь используется вариант оператора дифференцирования $$ \partial = \frac{\partial}{\partial x_0} + Ii \frac{\partial}{\partial x_1} + Ij \frac{\partial}{\partial x_2} + Ik \frac{\partial}{\partial x_3} $$ Если используем исходное уравнение $$ \partial \xi = \xi $$ то оно должно преобразовываться как $$ \psi^*\partial\bar{\psi}\xi\bar{\psi}^*= \xi\bar{\psi}^* $$ В силу того, что результат зависит от значения $\psi$, такая форма не соответствует принципу относительности Пуанкаре.

Чтобы уравнение соответствовало принципу относительности Пуанкаре, в нем левая и правая части должны преобразовываться одинаково для различных наблюдателей.

Слева стоит три полуоператора $\psi$ и справа один. Поэтому путем применения сопряжений найдем такую форму для левой части, чтобы два из них сократились.

Оператор $\partial$ заменим на $\bar{\partial}$ и спинор $\xi$ заменим на $\bar{\xi}$: $$ \begin{array}{c} \bar{\partial}\rightarrow\psi\bar{\partial}\bar{\psi}^* \\ \bar{\xi}\rightarrow\psi^*\bar{\xi} \\ \bar{\partial}\bar{\psi}\rightarrow \psi\bar{\partial}\bar{\psi}^*\psi^*\bar{\xi}= \psi\bar{\partial}\bar{\xi} \end{array} $$ Соответственно, и правую часть мы должны заменить на $\bar{\xi}^*$: $$ \bar{\xi}^*\rightarrow\psi\bar{\xi}^* $$ Итого, исходное уравнение $$ \partial\xi=\xi $$ для соответствия принципу относительности Пуанкаре должно быть заменено на $$ \bar{\partial}\bar{\xi}=\bar{\xi}^* $$ и при преобразовании векторов преобразованием Лоренца оно преобразуется как $$ \psi\bar{\partial}\bar{\xi}=\psi\bar{\xi}^* $$ Здесь и левая и правая части для различных наблюдателей преобразуются одинаково.

При такой замене уравнение соответствует принципу относительности Пуанкаре для варианта $$ \bar{\partial}\bar{\xi}=\bar{\xi} $$ для тех спиноров, для которых выполняется условие $$ \xi^*=\xi $$ Но в целом, для произвольно выбранных спиноров, принцип относительности Пуанкаре в таких уравнениях не выполняется и требуется использование в левой и правой частях спиноров с разным сопряжением.

Гиперкомплексные спиноры, оглавление