Если есть уравнение, содержащее в левой части и оператор дифференцирования и спинор, а в правой части спинор умноженный на скаляр, то возникает вопрос - как выглядит такое уравнение при преобразованиях Лоренца? Попробуем разобраться.
В некотором смысле задача выглядит как задача на собственные значения оператора дифференцирования в применении к спинору.
Положим, что в левой части стоит оператор дифференцирования ∂ умноженный на спинор ξ, то есть воздействующий на него:
∂ξ
И что в правой части стоит спинор ξ, умноженный на некий скаляр. В силу инвариантности скаляра относительно преобразований Лоренца просто опустим его и получим
∂ξ=ξ
В книге "Преобразования гиперкомплексных чисел" приводилось как преобразуется оператор дифференцирования если вектора преобразуются преобразованием Лоренца:
x→ψxˉψ∗∂→ψ∗∂ˉψ
Здесь используется вариант оператора дифференцирования
∂=∂∂x0+Ii∂∂x1+Ij∂∂x2+Ik∂∂x3
Если используем исходное уравнение
∂ξ=ξ
то оно должно преобразовываться как
ψ∗∂ˉψξˉψ∗=ξˉψ∗
В силу того, что результат зависит от значения ψ, такая форма не соответствует принципу относительности Пуанкаре.
Чтобы уравнение соответствовало принципу относительности Пуанкаре, в нем левая и правая части должны преобразовываться одинаково для различных наблюдателей.
Слева стоит три полуоператора ψ и справа один. Поэтому путем применения сопряжений найдем такую форму для левой части, чтобы два из них сократились.
Оператор ∂ заменим на ˉ∂ и спинор ξ заменим на ˉξ:
ˉ∂→ψˉ∂ˉψ∗ˉξ→ψ∗ˉξˉ∂ˉψ→ψˉ∂ˉψ∗ψ∗ˉξ=ψˉ∂ˉξ
Соответственно, и правую часть мы должны заменить на ˉξ∗:
ˉξ∗→ψˉξ∗
Итого, исходное уравнение
∂ξ=ξ
для соответствия принципу относительности Пуанкаре должно быть заменено на
ˉ∂ˉξ=ˉξ∗
и при преобразовании векторов преобразованием Лоренца оно преобразуется как
ψˉ∂ˉξ=ψˉξ∗
Здесь и левая и правая части для различных наблюдателей преобразуются одинаково.
При такой замене уравнение соответствует принципу относительности Пуанкаре для варианта
ˉ∂ˉξ=ˉξ
для тех спиноров, для которых выполняется условие
ξ∗=ξ
Но в целом, для произвольно выбранных спиноров, принцип относительности Пуанкаре в таких уравнениях не выполняется и требуется использование в левой и правой частях спиноров с разным сопряжением.
Гиперкомплексные спиноры, оглавление
Комментариев нет:
Отправить комментарий