Уравнения дираковского типа

Продолжим поиски уравнения на собственные векторы оператора дифференцирования, но так чтобы оно содержало в левой и правой частях одинаково сопряженные спиноры. И при этом обе части преобразовывались бы одинаково при преобразованиях Лоренца.

Сведем в таблицу варианты, которыми будем оперировать. Пусть $\psi$ обозначает преобразование Лоренца. При таком преобразовании векторная величина преобразуется как: $$x\rightarrow\psi x\bar{\psi}^*$$ Композиционная величина, например, угол, преобразуется как: $$\varphi\rightarrow\psi\varphi\bar{\psi}$$ Оператор дифференцирования преобразуется как: $$\partial\rightarrow\frac{1}{\bar{\psi}^*}\partial\frac{1}{\psi}= \psi^*\partial\bar{\psi}$$ И спинорная величина преобразуется как: $$\xi\rightarrow\xi\bar{\psi}^*$$ Ранее мы выяснили

Оператор дифференцирования и спинор

что для того чтобы приблизить по характеру преобразования произведения оператора дифференцирования, умноженного слева на спинор, к преобразованию спинора, к нему нужно применять сопряжение, содержащее векторное сопряжение. В частности, был получен вариант: $$\bar{\partial}\bar{\xi}=\bar{\xi}^*$$ Который при преобразованиях Лоренца, приведенных в справочных сведениях выше, преобразуется как: $$\psi\bar{\partial}\bar{\psi}=\psi\bar{\xi}^*$$ Мы можем изменить сопряжение правой части, чтобы она совпадала с сопряжением спинора в левой части, на $\bar{\xi}$, но тогда мы получим две части: $$\begin{array}{c} \psi\bar{\partial}\bar{\xi} \\ \psi^*\bar{\xi} \end{array}$$ Обе части мы можем привести к виду, преобразуемому одинаково, если левую часть умножим на некую величину, преобразуемую так, чтобы обе части составили в результате: $$\begin{array}{c} \psi^*w\bar{\psi}\psi\bar{\partial}\bar{\xi} \\ \psi^*\bar{\xi} \end{array}$$ Здесь величина $\bar{\psi}\psi$ в силу унитарности $\psi$ сокращается и получается: $$\psi^*w\bar{\partial}\bar{\xi}=\psi^*\bar{\xi}$$ Неизвестная величина $w$ по своему характеру преобразования соответствует, если сличить с приведенными ранее справочными данными по преобразованиям разных величин, вектору $u$, но только скалярно сопряженному: $$u^*\bar{\partial}\bar{\xi}=\bar{\xi}$$ И скалярно-сопряженный вектор $u$ преобразуется как: $$u^*\rightarrow\psi^*u^*\bar{\psi}$$ Компенсационный вектор мы можем вписать в уравнение не только слева, но и между дифференциальным оператором и спинором.

Выберем вариант с несопряженным оператором дифференцирования, где левая и правая части уравнения равны соответственно $$\begin{array}{c} \partial \bar{\xi} \\ \bar{\xi} \end{array}$$ При преобразованиях Лоренца левая и правая части преобразуются как: $$\begin{array}{c} \partial\bar{\xi}\rightarrow\psi^*\partial\bar{\psi} \psi^*\bar{\xi} \\ \bar{\xi}\rightarrow\psi^*\bar{\xi} \end{array}$$ Здесь в левой части после преобразования находится необходимая величина $\psi^*$. Но в середине произведения стоит $$\bar{\psi}\psi^*$$ где левый полуоператор от дифференциального оператора, а правый от сопряженного спинора. И чтобы сократить полуоператоры, впишем между оператором дифференцирования и спинором неизвестную пока величину $v$, потребовав чтобы она преобразовывалась нужным для сокращения полуоператоров способом: $$\partial v\bar{\xi}\rightarrow \psi^*\partial\bar{\psi}\psi v\bar{\psi}^*\psi^*\bar{\xi}$$ То есть неизвестная величина $v$ должна преобразовываться как вектор при преобразованиях Лоренца: $$v\rightarrow\psi v\bar{\psi}^*$$ И получаем два уравнения дираковского типа для спиноров, которые соответствуют принципу относительности Пуанкаре: $$\begin{array}{c} u^*\bar{\partial}\bar{\xi}=\bar{\xi} \\ \partial v\bar{\xi}=\bar{\xi} \end{array}$$ Таким образом, выполнить условия соответствия характеристического уравнения для дифференциального оператора, в приложении к спинору, принципу относительности Пуанкаре, возможно, но для этого надо добавить в произведение векторы.

Традиционное построение уравнения Дирака включает в правую часть массу. Поскольку масса есть скалярный инвариант относительно преобразований Лоренца, вышеприведенные рассуждения не меняют форму и уравнения приобретают вид: $$\begin{array}{c} u^*\bar{\partial}\bar{\xi}=m\bar{\xi} \\ \partial v\bar{\xi}=m\bar{\xi} \end{array}$$

Гиперкомплексные спиноры, оглавление