Уравнения дираковского типа

Продолжим поиски уравнения на собственные векторы оператора дифференцирования, но так чтобы оно содержало в левой и правой частях одинаково сопряженные спиноры. И при этом обе части преобразовывались бы одинаково при преобразованиях Лоренца.

Сведем в таблицу варианты, которыми будем оперировать. Пусть $\psi$ обозначает преобразование Лоренца. При таком преобразовании векторная величина преобразуется как: $$ x\rightarrow\psi x\bar{\psi}^* $$ Композиционная величина, например, угол, преобразуется как: $$ \varphi\rightarrow\psi\varphi\bar{\psi} $$ Оператор дифференцирования преобразуется как: $$ \partial\rightarrow\frac{1}{\bar{\psi}^*}\partial\frac{1}{\psi}= \psi^*\partial\bar{\psi} $$ И спинорная величина преобразуется как: $$ \xi\rightarrow\xi\bar{\psi}^* $$ Ранее мы выяснили

Оператор дифференцирования и спинор

что для того чтобы приблизить по характеру преобразования произведения оператора дифференцирования, умноженного слева на спинор, к преобразованию спинора, к нему нужно применять сопряжение, содержащее векторное сопряжение. В частности, был получен вариант: $$ \bar{\partial}\bar{\xi}=\bar{\xi}^* $$ Который при преобразованиях Лоренца, приведенных в справочных сведениях выше, преобразуется как: $$ \psi\bar{\partial}\bar{\psi}=\psi\bar{\xi}^* $$ Мы можем изменить сопряжение правой части, чтобы она совпадала с сопряжением спинора в левой части, на $\bar{\xi}$, но тогда мы получим две части: $$ \begin{array}{c} \psi\bar{\partial}\bar{\xi} \\ \psi^*\bar{\xi} \end{array} $$ Обе части мы можем привести к виду, преобразуемому одинаково, если левую часть умножим на некую величину, преобразуемую так, чтобы обе части составили в результате: $$ \begin{array}{c} \psi^*w\bar{\psi}\psi\bar{\partial}\bar{\xi} \\ \psi^*\bar{\xi} \end{array} $$ Здесь величина $\bar{\psi}\psi$ в силу унитарности $\psi$ сокращается и получается: $$ \psi^*w\bar{\partial}\bar{\xi}=\psi^*\bar{\xi} $$ Неизвестная величина $w$ по своему характеру преобразования соответствует, если сличить с приведенными ранее справочными данными по преобразованиям разных величин, вектору $u$, но только скалярно сопряженному: $$ u^*\bar{\partial}\bar{\xi}=\bar{\xi} $$ И скалярно-сопряженный вектор $u$ преобразуется как: $$ u^*\rightarrow\psi^*u^*\bar{\psi} $$ Компенсационный вектор мы можем вписать в уравнение не только слева, но и между дифференциальным оператором и спинором.

Выберем вариант с несопряженным оператором дифференцирования, где левая и правая части уравнения равны соответственно $$ \begin{array}{c} \partial \bar{\xi} \\ \bar{\xi} \end{array} $$ При преобразованиях Лоренца левая и правая части преобразуются как: $$ \begin{array}{c} \partial\bar{\xi}\rightarrow\psi^*\partial\bar{\psi} \psi^*\bar{\xi} \\ \bar{\xi}\rightarrow\psi^*\bar{\xi} \end{array} $$ Здесь в левой части после преобразования находится необходимая величина $\psi^*$. Но в середине произведения стоит $$ \bar{\psi}\psi^* $$ где левый полуоператор от дифференциального оператора, а правый от сопряженного спинора. И чтобы сократить полуоператоры, впишем между оператором дифференцирования и спинором неизвестную пока величину $v$, потребовав чтобы она преобразовывалась нужным для сокращения полуоператоров способом: $$ \partial v\bar{\xi}\rightarrow \psi^*\partial\bar{\psi}\psi v\bar{\psi}^*\psi^*\bar{\xi} $$ То есть неизвестная величина $v$ должна преобразовываться как вектор при преобразованиях Лоренца: $$ v\rightarrow\psi v\bar{\psi}^* $$ И получаем два уравнения дираковского типа для спиноров, которые соответствуют принципу относительности Пуанкаре: $$ \begin{array}{c} u^*\bar{\partial}\bar{\xi}=\bar{\xi} \\ \partial v\bar{\xi}=\bar{\xi} \end{array} $$ Таким образом, выполнить условия соответствия характеристического уравнения для дифференциального оператора, в приложении к спинору, принципу относительности Пуанкаре, возможно, но для этого надо добавить в произведение векторы.

Традиционное построение уравнения Дирака включает в правую часть массу. Поскольку масса есть скалярный инвариант относительно преобразований Лоренца, вышеприведенные рассуждения не меняют форму и уравнения приобретают вид: $$ \begin{array}{c} u^*\bar{\partial}\bar{\xi}=m\bar{\xi} \\ \partial v\bar{\xi}=m\bar{\xi} \end{array} $$

Гиперкомплексные спиноры, оглавление