воскресенье, 14 апреля 2024 г.

Матричные представления спиноров

В общепринятом представлении спиноров используется понимание их как двухкомпонентных чисел с комплексными коэффициентами. Речь идет о спинорах первого ранга. При этом выяснилось, что они в произведении ведут себя как бикватернионы. Но у бикватернионов есть несколько матричных представлений. Которые из них подходят? Попробуем разобраться.

Если перебрать матричные представления бикватернионов, то подходят по меньшей мере три варианта: 2×22×2 с комплексными коэффициентами, 4×44×4 с комплексными коэффициентами и 8×88×8 с действительными коээффициентами.

Представление 2×22×2 с комплексными коэффициентами уже описывалось в исследовании спиноров
Спиноры и вращение
Спиноры и преобразование Лоренца
Именно этот вариант и вывел Паули в своем исследовании базисных матриц σiσi. Если обратиться к его работе "Общие принципы волновой механики", то видно что причиной получения именно матриц 2×22×2 было то, что они нашлись при поиске объектов, подходящих под правила коммутации. Он снабжает пояснением: "целесообразно рассмотреть группу унитарных преобразований двух комплексных переменных".

Флюгге во втором томе задачника по квантовой механике уточняет:
Измеряя какую-либо компоненту спина, можно получить только одно из двух значений: +1/2+1/2 или 1/21/2. Следовательно, собственные значения каждого из операторов σiσi должны допускать представления в виде двурядных матриц.
Исходя из правил коммутации Паули находит, что подходит пара комплексных чисел с умножением на комплекснозначную матрицу 2×22×2. и начиная с этого момента описывает ψψ-функцию как двухкомпонентную комплекснозначную.

Вторым вариантом матричного представления спиноров может быть комплекснозначное представление бикватернионов, а именно, если есть кватернион a=a0+ia1+ja2+ka3a=a0+ia1+ja2+ka3 то его можно представить матрицей (a0a1a2a3a1a0a3a2a2a3a0a1a3a2a1a0)⎜ ⎜ ⎜a0a1a2a3a1a0a3a2a2a3a0a1a3a2a1a0⎟ ⎟ ⎟ Соответственно, получить бикватернион x=x0+Iix1+Ijx2+Ikx3+Ix4+ix5+jx6+kx7x=x0+Iix1+Ijx2+Ikx3+Ix4+ix5+jx6+kx7 можно, сделав замену a0=x0+Ix4a1=x5+Ix1a2=x6+Ix2a3=x7+Ix3a0=x0+Ix4a1=x5+Ix1a2=x6+Ix2a3=x7+Ix3 в соответствующих коэффициентах матрицы. Поэтому получается матрица 4×44×4, но с комплексными коэффициентами.

И, наконец, третий вариант - это матричное представление 8×88×8 с действительными коэффициентами, когда бикватернион x выглядит в виде матрицы как: (x0x1x2x3x4x5x6x7x1x0x7x6x5x4x3x2x2x7x0x5x6x3x4x1x3x6x5x0x7x2x1x4x4x5x6x7x0x1x2x3x5x4x3x2x1x0x7x6x6x3x4x1x2x7x0x5x7x2x1x4x3x6x5x0)⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜x0x1x2x3x4x5x6x7x1x0x7x6x5x4x3x2x2x7x0x5x6x3x4x1x3x6x5x0x7x2x1x4x4x5x6x7x0x1x2x3x5x4x3x2x1x0x7x6x6x3x4x1x2x7x0x5x7x2x1x4x3x6x5x0⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ Все три варианта описывают одни и те же коммутационные соотношения. И, если изначально не фиксировать размерность матриц σiσi, то все три варианта подходят и заменяемы друг на друга.

Например, для представления 4×44×4 также выполняется соотношение (ξ1ξ2)j=(ξ2ξ1)(ξ1ξ2)j=(ξ2ξ1) Если под значениями ξ1ξ1 и ξ2ξ2 понимать два компонента: ξ1=(x0x1)ξ2=(x2x3)ξ1=(x0x1)ξ2=(x2x3) при умножении вектора-строки (x0x1x2x3)(0010000110000100)(x0x1x2x3)⎜ ⎜ ⎜0010000110000100⎟ ⎟ ⎟ получаем вектор-строку (x2x3x0x1)(x2x3x0x1) Что при принятом правиле сопоставления соответствует ξ1=(x2x3)=ξ2ξ2=(x0x1)=ξ1 Здесь в правиле сопоставления первый коэффициент вектора-строки есть первый коэффициент ξ1, со сменой знака. Остальные коэффициенты при сопоставлении не меняют знак.

Соответственно, в зависимости от сделанного выбора представления, будут ли σi представляться матрицами 2×2, 4×4 или 8×8, нужно сделать вывод о представлении спиноров. В первом случае это пара комплексных чисел, во втором это 4 комплексные числа и в третьем это 8 действительных чисел.

Гиперкомплексные спиноры, оглавление

Комментариев нет:

Отправить комментарий