Если перебрать матричные представления бикватернионов, то подходят по меньшей мере три варианта: 2×22×2 с комплексными коэффициентами, 4×44×4 с комплексными коэффициентами и 8×88×8 с действительными коээффициентами.
Представление 2×22×2 с комплексными коэффициентами уже описывалось в исследовании спиноров
Спиноры и вращениеИменно этот вариант и вывел Паули в своем исследовании базисных матриц σiσi. Если обратиться к его работе "Общие принципы волновой механики", то видно что причиной получения именно матриц 2×22×2 было то, что они нашлись при поиске объектов, подходящих под правила коммутации. Он снабжает пояснением: "целесообразно рассмотреть группу унитарных преобразований двух комплексных переменных".
Спиноры и преобразование Лоренца
Флюгге во втором томе задачника по квантовой механике уточняет:
Измеряя какую-либо компоненту спина, можно получить только одно из двух значений: +1/2ℏ+1/2ℏ или −1/2ℏ−1/2ℏ. Следовательно, собственные значения каждого из операторов σiσi должны допускать представления в виде двурядных матриц.Исходя из правил коммутации Паули находит, что подходит пара комплексных чисел с умножением на комплекснозначную матрицу 2×22×2. и начиная с этого момента описывает ψψ-функцию как двухкомпонентную комплекснозначную.
Вторым вариантом матричного представления спиноров может быть комплекснозначное представление бикватернионов, а именно, если есть кватернион a=a0+ia1+ja2+ka3a=a0+ia1+ja2+ka3 то его можно представить матрицей (a0−a1−a2−a3a1a0−a3a2a2a3a0−a1a3−a2a1a0) Соответственно, получить бикватернион x=x0+Iix1+Ijx2+Ikx3+Ix4+ix5+jx6+kx7 можно, сделав замену a0=x0+Ix4a1=x5+Ix1a2=x6+Ix2a3=x7+Ix3 в соответствующих коэффициентах матрицы. Поэтому получается матрица 4×4, но с комплексными коэффициентами.
И, наконец, третий вариант - это матричное представление 8×8 с действительными коэффициентами, когда бикватернион x выглядит в виде матрицы как: (x0x1x2x3−x4−x5−x6−x7x1x0−x7x6x5x4−x3x2x2x7x0−x5x6x3x4−x1x3−x6x5x0x7−x2x1x4x4−x5−x6−x7x0−x1−x2−x3x5−x4x3−x2−x1x0−x7x6x6−x3−x4x1−x2x7x0−x5x7x2−x1−x4−x3−x6x5x0) Все три варианта описывают одни и те же коммутационные соотношения. И, если изначально не фиксировать размерность матриц σi, то все три варианта подходят и заменяемы друг на друга.
Например, для представления 4×4 также выполняется соотношение (ξ1ξ2)j=(−ξ2ξ1) Если под значениями ξ1 и ξ2 понимать два компонента: ξ1=(−x0x1)ξ2=(x2x3) при умножении вектора-строки (−x0x1x2x3)(00−10000110000−100) получаем вектор-строку (−x2−x3−x0x1) Что при принятом правиле сопоставления соответствует ξ1′=(−x2−x3)=−ξ2ξ2′=(−x0x1)=−ξ1 Здесь в правиле сопоставления первый коэффициент вектора-строки есть первый коэффициент ξ1, со сменой знака. Остальные коэффициенты при сопоставлении не меняют знак.
Соответственно, в зависимости от сделанного выбора представления, будут ли σi представляться матрицами 2×2, 4×4 или 8×8, нужно сделать вывод о представлении спиноров. В первом случае это пара комплексных чисел, во втором это 4 комплексные числа и в третьем это 8 действительных чисел.
Гиперкомплексные спиноры, оглавление
Комментариев нет:
Отправить комментарий