Матричные представления спиноров

В общепринятом представлении спиноров используется понимание их как двухкомпонентных чисел с комплексными коэффициентами. Речь идет о спинорах первого ранга. При этом выяснилось, что они в произведении ведут себя как бикватернионы. Но у бикватернионов есть несколько матричных представлений. Которые из них подходят? Попробуем разобраться.

Если перебрать матричные представления бикватернионов, то подходят по меньшей мере три варианта: $2\times 2$ с комплексными коэффициентами, $4\times 4$ с комплексными коэффициентами и $8\times 8$ с действительными коээффициентами.

Представление $2\times 2$ с комплексными коэффициентами уже описывалось в исследовании спиноров

Спиноры и вращение
Спиноры и преобразование Лоренца

Именно этот вариант и вывел Паули в своем исследовании базисных матриц $\sigma_i$. Если обратиться к его работе "Общие принципы волновой механики", то видно что причиной получения именно матриц $2\times 2$ было то, что они нашлись при поиске объектов, подходящих под правила коммутации. Он снабжает пояснением: "целесообразно рассмотреть группу унитарных преобразований двух комплексных переменных".

Флюгге во втором томе задачника по квантовой механике уточняет:

Измеряя какую-либо компоненту спина, можно получить только одно из двух значений: $+1/2\hbar$ или $-1/2\hbar$. Следовательно, собственные значения каждого из операторов $\sigma_i$ должны допускать представления в виде двурядных матриц.

Исходя из правил коммутации Паули находит, что подходит пара комплексных чисел с умножением на комплекснозначную матрицу $2\times 2$. и начиная с этого момента описывает $\psi$-функцию как двухкомпонентную комплекснозначную.

Вторым вариантом матричного представления спиноров может быть комплекснозначное представление бикватернионов, а именно, если есть кватернион $$ a = a_0+ia_1+ja_2+ka_3 $$ то его можно представить матрицей $$ \left( \begin{array}{rrrr} a_0 & -a_1 & -a_2 & -a_3 \\ a_1 & a_0 & -a_3 & a_2 \\ a_2 & a_3 & a_0 & -a_1 \\ a_3 & -a_2 & a_1 & a_0 \\ \end{array} \right) $$ Соответственно, получить бикватернион $$ x=x_0+Iix_1+Ijx_2+Ikx_3+Ix_4+ix_5+jx_6+kx_7 $$ можно, сделав замену $$ \begin{array}{c} a_0 = x_0+Ix_4 \\ a_1 = x_5+Ix_1 \\ a_2 = x_6+Ix_2 \\ a_3 = x_7+Ix_3 \end{array} $$ в соответствующих коэффициентах матрицы. Поэтому получается матрица $4\times 4$, но с комплексными коэффициентами.

И, наконец, третий вариант - это матричное представление $8\times 8$ с действительными коэффициентами, когда бикватернион x выглядит в виде матрицы как: $$ \left( \begin{array}{rrrrrrrr} x_0 & x_1 & x_2 & x_3 & -x_4 & -x_5 & -x_6 & -x_7 \\ x_1 & x_0 & -x_7 & x_6 & x_5 & x_4 & -x_3 & x_2 \\ x_2 & x_7 & x_0 & -x_5 & x_6 & x_3 & x_4 & -x_1 \\ x_3 & -x_6 & x_5 & x_0 & x_7 & -x_2 & x_1 & x_4 \\ x_4 & -x_5 & -x_6 & -x_7 & x_0 & -x_1 & -x_2 & -x_3 \\ x_5 & -x_4 & x_3 & -x_2 & -x_1 & x_0 & -x_7 & x_6 \\ x_6 & -x_3 & -x_4 & x_1 & -x_2 & x_7 & x_0 & -x_5 \\ x_7 & x_2 & -x_1 & -x_4 & -x_3 & -x_6 & x_5 & x_0 \end{array} \right) $$ Все три варианта описывают одни и те же коммутационные соотношения. И, если изначально не фиксировать размерность матриц $\sigma_i$, то все три варианта подходят и заменяемы друг на друга.

Например, для представления $4\times 4$ также выполняется соотношение $$ \left( \begin{array}{cc} \xi^1 & \xi^2 \end{array} \right)j= \left( \begin{array}{cc} -\xi^2 & \xi^1 \end{array} \right) $$ Если под значениями $\xi^1$ и $\xi^2$ понимать два компонента: $$ \begin{array}{c} \xi^1=\left( \begin{array}{cc} -x_0 & x_1 \end{array} \right)\\ \xi^2=\left( \begin{array}{cc} x_2 & x_3 \end{array} \right) \end{array} $$ при умножении вектора-строки $$ \left( \begin{array}{cccc} -x_0 & x_1 & x_2 & x_3 \end{array} \right) \left( \begin{array}{cccc} 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \end{array} \right) $$ получаем вектор-строку $$ \left( \begin{array}{cccc} -x_2 & -x_3 & -x_0 & x_1 \end{array} \right) $$ Что при принятом правиле сопоставления соответствует $$ \begin{array}{c} {\xi^1}'= \left( \begin{array}{cc} -x_2 & -x_3 \end{array} \right)=-\xi^2 \\ {\xi^2}'= \left( \begin{array}{cc} -x_0 & x_1 \end{array} \right)=-\xi^1 \end{array} $$ Здесь в правиле сопоставления первый коэффициент вектора-строки есть первый коэффициент $\xi^1$, со сменой знака. Остальные коэффициенты при сопоставлении не меняют знак.

Соответственно, в зависимости от сделанного выбора представления, будут ли $\sigma_i$ представляться матрицами $2\times 2$, $4\times 4$ или $8\times 8$, нужно сделать вывод о представлении спиноров. В первом случае это пара комплексных чисел, во втором это 4 комплексные числа и в третьем это 8 действительных чисел.

Гиперкомплексные спиноры, оглавление