Инвариантный объем на спинорах

Среди инвариантов, существующих у спиноров, есть такой который можно вывести из простых рассуждений.

Положим, что есть линейное преобразование в некотором пространстве, в котором объект задается упорядоченным перечислением $n$ компонент: $$ X = \left( \begin{array}{c} x_1 \\ \vdots \\ x_n \end{array} \right) $$ Допустим также, что эти компоненты могут быть комплексными или бикомплексными величинами, или какими-либо другими, коппутирующими по умножению.

Также пусть к таким объектам применяется линейное преобразование, которое может быть задано матрицей $$ A = \left( \begin{array}{ccc} a_{11} & \ldots & a_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & \ldots & a_{nn} \end{array} \right) $$ И пусть эта матрица является унитарной, имеет единичный определитель: $$ \det A = 1 $$ Поскольку преобразование применяется не к одному элементу пространства $X$, а ко всем, существуют также элементы того же пространства $Y$, $Z$ и так далее, что новые значения есть линейное преобразование заданных: $$ \begin{array}{c} X'=AX \\ Y'=AY \\ \ldots \\ Z'=AZ \end{array} $$ Мы можем линейное преобразование записать как произведение матрицы преобразования на матрицу-столбец с компонентами объектов пространства: $$ \left( \begin{array}{c} X'_1 \\ \vdots \\ X'_n \end{array} \right) = A \left( \begin{array}{c} X_1 \\ \vdots \\ X_n \end{array} \right) $$ $$ \left( \begin{array}{c} Y'_1 \\ \vdots \\ Y'_n \end{array} \right) = A \left( \begin{array}{c} Y_1 \\ \vdots \\ Y_n \end{array} \right) $$ В силу правила матричного умножения когда элементы строки матрицы умножаются на элементы столбца операнда чтобы получить столбец результата, мы можем объединить столбцы элементов $X$ и $Y$ преобразуемого пространства в матрицу $$ \left( \begin{array}{cc} X'_1 & Y'_1 \\ \vdots & \vdots \\ X'_n & Y'_n \end{array} \right) = A \left( \begin{array}{cc} X & Y \\ \vdots & \vdots \\ X_n & Y_n \end{array} \right) $$ Так мы можем поступить с любым количеством элементов преобразуемого пространства, получая из них матрицу с размерами $n$ по вертикали и с размером $m$ по горизонтали, где $m$ - количество использованных элементов проистарнства.

Среди таких матриц, на которые воздействует преобразование $A$, выделяются квадратные матрицы, для которых $m=n$.

Если матрица квадратная, то мы можем вычислить её определитель. В силу того, что определитель произведения матриц есть произведение их определителей, а определитель матрицы $A$ единичен, мы автоматически получаем что определители матриц, составленных из колонок как элементов преобразуемого пространства, есть сохраняющаяся при преобразовании величина, или инвариант этого преобразования.

Мы уже имели дело с такими матрицами если пространство есть 3-мерное векторное. В этом случае определитель матрицы, составленной из 3-х векторов есть объем построенный на этих 3-х векторах. Если используется 4 вектора 4-мерного пространства - времени, то такой определитель представляет 4-мерный объем. Очевидно, что если два или более векторов в таких наборах коллинеарны, то определитель нулевой.

В отношении спиноров, если к ним применяется унитарное преобразование, мы по той же схеме можем определить 2-мерный объем если используются два 2-компонентных спинора или четыре 4-компонентных.

Пусть есть два спинора $$ \xi=\left(\begin{array}{c} \xi_1 \\ \xi_2 \end{array}\right) $$ $$ \chi=\left(\begin{array}{c} \chi_1 \\ \chi_2 \end{array}\right) $$ Из их компонентов можно составить матрицу $$ \left( \begin{array}{cc} \xi_1 & \chi_1 \\ \xi_2 & \chi_2 \end{array} \right) $$ И при унитарных преобразованиях её определитель будет инвариантен по аналогии с 3-мерным и 4-мерным объемами величиной $$ \xi_1\chi_2 - \xi_2\chi_1 $$ Эта величина будет играть роль инвариантного объема в пространстве комплекснозначных спиноров и такой объем, соответственно, также будет комплексным числом.

В векторном пространстве для 2-мерных векторов эта величина будет площадью на двух векторах. То есть в некотором смысле и при некоторых условиях площадь - это 2-мерный объем.

Если в $n$ мерном пространстве существует линейное преобразование, затрагивающее не все $n$ компонент, а лишь часть из них, например $m$, то относительно такого преобразования будет инвариантом соответственно объем построенный на $m$ объектах. В этом случае в компоненты, образующие объем, входят те которые участвуют в этом преобразовании.

Очевидно, что если относительно $m$ мерного преобразования в $n$ мерном пространстве инвариантен $m$ мерный объем, то также инвариантами будут и объемы от $m$ до $n$ мерных, если в эти дополнительные компоненты входят только неизменяемые компоненты.

Например, если относительно 3-мерных поворотов инвариантен 3-мерный объем, то он также будет инвариантен и в 4-мерном пространстве.

В определенном смысле инвариантность объема есть не свойство самих векторов пространства, а свойство преобразований, которые к ним применяются.

Гиперкомплексные спиноры, оглавление