Processing math: 100%

пятница, 19 апреля 2024 г.

Уравнения типа Клейна-Гордона

Уравнение Клейна-Гордона представляет собой релятивистское представление состояния спинора как релятивистский вариант уравнения Шредингера. Оно связывает условный квадрат модуля оператора дифференцирования, применяемого к спинору и квадрат массы, применяемого также к спинору. Как оно может выглядеть в гиперкомплексной записи, попробуем разобраться.

Если использовать определение оператора дифференцирования как =x0+Iix1+Ijx2+Ikx3 то условному квадрату модуля такого оператора соответствует два произведения: ˉˉ Они оба равны 2x202x212x222x23 но при преобразовании векторов преобразованием Лоренца эти два варианта, по меньшей мере формально, преобразуются по-разному.

Сначала рассмотрим преобразование исходного оператора дифференцирования: xψxˉψ1ˉψ1ψ=ψˉψ При применении к такому оператору векторного сопряжения он преобразуется как: ˉψˉˉψ Можем отметить, что именно сопряженные дифференциальные операторы ˉ и преобразуются как векторы.

И, вообще говоря, обе конструкции ˉˉ не являются, строго говоря, алгебраическими скалярами. Просто потому, что используется не алгебраическое, а векторное сопряжение.

Опишем, как они преобразуются: ˉψˉˉψψˉψ=ψˉˉψˉψˉψψˉˉψ=ψˉˉψ То есть, во-первых, эти оба варианта преобразуются по-разному. И, во-вторых, он ипреобразуюбтся как композиционные величины, то есть являются величинами типа углов, моментов или напряженностей электромагнитного поля, либо скаляром или псевдоскаляром.

Обе эти величины равны потому, что мы изначально в качестве выбрали колярный вектор и величина ˉ, как и ˉ, вычисляется благодаря этому обстоятельству как скаляр. А скаляры инвариантны относительно композиционных преобразований.

В принятых обозначениях уравнение Клейна-Гордона для совместимости с веторным вариантом должен получить знак минус у левой или правой частей, а именно: ˉ=m2 Здесь приведены левая и правая части без применения к самим спинорам. Для того, чтобы найти как они могут быть применены к спинорам, потребует соответствия обеих частей принципу относительности Пуанкаре. Чтобы при преобразованиях Лоренца они преобразовывались одинаково.

Возьмем первый вариант ˉ и найдем как должен быть сопряжен спинор, который при преобразованиях Лоренца преобразуется как ξξˉψ Поскольку величина ˉ преобразуется как ˉψˉˉψ то для спинора требуется сопряжение вида: ˉξψˉξ В этом случае левая и правая части уравнения типа Клейна-Гордона преобразуются как: ˉˉξψˉˉψψˉξ=ψˉˉξ m2ˉξψ(m2)ˉξ То есть уравнение ˉˉξ=m2ˉξ соответствует принципу относительности Пуанкаре.

И точно также рассмотрим второй вариант, величину ˉ и к какому сопряжению она должна применяться. ˉψˉˉ И для того, чтобы сократить величину ˉψ стоящую справа, мы должны использовать для спинора сопряжение с перестановкой полуоператора, то есть содержащее векторное сопряжение полуоператора. Итого, уравнение слева должно быть: ˉˉξψˉˉξ И его часть справа: m2ˉξm2ψˉξ Таким образом, уравнение ˉˉξ=m2ˉξ также соответствует принципу относительности Пуанкаре.

Гиперкомплексные спиноры, оглавление

Комментариев нет:

Отправить комментарий