Уравнения типа Клейна-Гордона

Уравнение Клейна-Гордона представляет собой релятивистское представление состояния спинора как релятивистский вариант уравнения Шредингера. Оно связывает условный квадрат модуля оператора дифференцирования, применяемого к спинору и квадрат массы, применяемого также к спинору. Как оно может выглядеть в гиперкомплексной записи, попробуем разобраться.

Если использовать определение оператора дифференцирования как $$ \partial = \frac{\partial}{\partial x_0}+ Ii\frac{\partial}{\partial x_1}+ Ij\frac{\partial}{\partial x_2}+ Ik\frac{\partial}{\partial x_3} $$ то условному квадрату модуля такого оператора соответствует два произведения: $$ \begin{array}{c} \bar{\partial}\partial \\ \partial\bar{\partial} \end{array} $$ Они оба равны $$ \frac{\partial^2}{\partial x_0^2}- \frac{\partial^2}{\partial x_1^2}- \frac{\partial^2}{\partial x_2^2}- \frac{\partial^2}{\partial x_3^2} $$ но при преобразовании векторов преобразованием Лоренца эти два варианта, по меньшей мере формально, преобразуются по-разному.

Сначала рассмотрим преобразование исходного оператора дифференцирования: $$ \begin{array}{c} x\rightarrow \psi x \bar{\psi}^* \\ \partial\rightarrow\dfrac{1}{\bar{\psi}^*}\partial\dfrac{1}{\psi}= \psi^*\partial\bar{\psi} \end{array} $$ При применении к такому оператору векторного сопряжения он преобразуется как: $$ \bar{\partial}\rightarrow\psi\bar{\partial}\bar{\psi}^* $$ Можем отметить, что именно сопряженные дифференциальные операторы $\bar{\partial}$ и $\partial^*$ преобразуются как векторы.

И, вообще говоря, обе конструкции $$ \begin{array}{c} \bar{\partial}\partial \\ \partial\bar{\partial} \end{array} $$ не являются, строго говоря, алгебраическими скалярами. Просто потому, что используется не алгебраическое, а векторное сопряжение.

Опишем, как они преобразуются: $$ \begin{array}{c} \bar{\partial}\partial \rightarrow\psi\bar{\partial}\bar{\psi}^* \psi^*\partial\bar{\psi}=\psi\bar{\partial}\partial\bar{\psi}\\ \partial\bar{\partial} \rightarrow\psi^*\partial\bar{\psi}\psi \bar{\partial}\bar{\psi}^*=\psi^*\partial\bar{\partial}\bar{\psi}^* \end{array} $$ То есть, во-первых, эти оба варианта преобразуются по-разному. И, во-вторых, он ипреобразуюбтся как композиционные величины, то есть являются величинами типа углов, моментов или напряженностей электромагнитного поля, либо скаляром или псевдоскаляром.

Обе эти величины равны потому, что мы изначально в качестве $\partial$ выбрали колярный вектор и величина $\bar{\partial}\partial$, как и $\partial\bar{\partial}$, вычисляется благодаря этому обстоятельству как скаляр. А скаляры инвариантны относительно композиционных преобразований.

В принятых обозначениях уравнение Клейна-Гордона для совместимости с веторным вариантом должен получить знак минус у левой или правой частей, а именно: $$ \bar{\partial}\partial\ldots=-m^2\ldots $$ Здесь приведены левая и правая части без применения к самим спинорам. Для того, чтобы найти как они могут быть применены к спинорам, потребует соответствия обеих частей принципу относительности Пуанкаре. Чтобы при преобразованиях Лоренца они преобразовывались одинаково.

Возьмем первый вариант $\bar{\partial}\partial$ и найдем как должен быть сопряжен спинор, который при преобразованиях Лоренца преобразуется как $$ \xi\rightarrow\xi\bar{\psi}^* $$ Поскольку величина $\bar{\partial}\partial$ преобразуется как $$ \bar{\partial}\partial\rightarrow\psi\bar{\partial}\partial\bar{\psi} $$ то для спинора требуется сопряжение вида: $$ \bar{\xi}^*\rightarrow\psi\bar{\xi}^* $$ В этом случае левая и правая части уравнения типа Клейна-Гордона преобразуются как: $$ \bar{\partial}\partial\bar{\xi}^*\rightarrow \psi\bar{\partial}\partial\bar{\psi}\psi\bar{\xi}^*= \psi\bar{\partial}\partial\bar{\xi}^* $$ $$ -m^2\bar{\xi}^*\rightarrow\psi(-m^2)\bar{\xi}^* $$ То есть уравнение $$ \bar{\partial}\partial\bar{\xi}^* = -m^2\bar{\xi}^* $$ соответствует принципу относительности Пуанкаре.

И точно также рассмотрим второй вариант, величину $\partial\bar{\partial}$ и к какому сопряжению она должна применяться. $$ \partial\bar{\partial}\rightarrow \psi^*\partial\bar{\partial}\bar{\partial}^* $$ И для того, чтобы сократить величину $\bar{\psi}^*$ стоящую справа, мы должны использовать для спинора сопряжение с перестановкой полуоператора, то есть содержащее векторное сопряжение полуоператора. Итого, уравнение слева должно быть: $$ \partial\bar{\partial}\bar{\xi}\rightarrow \psi^*\partial\bar{\partial}\bar{\xi} $$ И его часть справа: $$ -m^2\bar{\xi}\rightarrow-m^2\psi^*\bar{\xi} $$ Таким образом, уравнение $$ \partial\bar{\partial}\bar{\xi}=-m^2\bar{\xi} $$ также соответствует принципу относительности Пуанкаре.

Гиперкомплексные спиноры, оглавление