Уравнение Клейна-Гордона представляет собой релятивистское представление состояния спинора как релятивистский вариант уравнения Шредингера. Оно связывает условный квадрат модуля оператора дифференцирования, применяемого к спинору и квадрат массы, применяемого также к спинору. Как оно может выглядеть в гиперкомплексной записи, попробуем разобраться.
Если использовать определение оператора дифференцирования как
∂=∂∂x0+Ii∂∂x1+Ij∂∂x2+Ik∂∂x3
то условному квадрату модуля такого оператора соответствует два произведения:
ˉ∂∂∂ˉ∂
Они оба равны
∂2∂x20−∂2∂x21−∂2∂x22−∂2∂x23
но при преобразовании векторов преобразованием Лоренца эти два варианта, по меньшей мере формально, преобразуются по-разному.
Сначала рассмотрим преобразование исходного оператора дифференцирования:
x→ψxˉψ∗∂→1ˉψ∗∂1ψ=ψ∗∂ˉψ
При применении к такому оператору векторного сопряжения он преобразуется как:
ˉ∂→ψˉ∂ˉψ∗
Можем отметить, что именно сопряженные дифференциальные операторы ˉ∂ и ∂∗ преобразуются как векторы.
И, вообще говоря, обе конструкции
ˉ∂∂∂ˉ∂
не являются, строго говоря, алгебраическими скалярами. Просто потому, что используется не алгебраическое, а векторное сопряжение.
Опишем, как они преобразуются:
ˉ∂∂→ψˉ∂ˉψ∗ψ∗∂ˉψ=ψˉ∂∂ˉψ∂ˉ∂→ψ∗∂ˉψψˉ∂ˉψ∗=ψ∗∂ˉ∂ˉψ∗
То есть, во-первых, эти оба варианта преобразуются по-разному. И, во-вторых, он ипреобразуюбтся как композиционные величины, то есть являются величинами типа углов, моментов или напряженностей электромагнитного поля, либо скаляром или псевдоскаляром.
Обе эти величины равны потому, что мы изначально в качестве ∂ выбрали колярный вектор и величина ˉ∂∂, как и ∂ˉ∂, вычисляется благодаря этому обстоятельству как скаляр. А скаляры инвариантны относительно композиционных преобразований.
В принятых обозначениях уравнение Клейна-Гордона для совместимости с веторным вариантом должен получить знак минус у левой или правой частей, а именно:
ˉ∂∂…=−m2…
Здесь приведены левая и правая части без применения к самим спинорам. Для того, чтобы найти как они могут быть применены к спинорам, потребует соответствия обеих частей принципу относительности Пуанкаре. Чтобы при преобразованиях Лоренца они преобразовывались одинаково.
Возьмем первый вариант ˉ∂∂ и найдем как должен быть сопряжен спинор, который при преобразованиях Лоренца преобразуется как
ξ→ξˉψ∗
Поскольку величина ˉ∂∂ преобразуется как
ˉ∂∂→ψˉ∂∂ˉψ
то для спинора требуется сопряжение вида:
ˉξ∗→ψˉξ∗
В этом случае левая и правая части уравнения типа Клейна-Гордона преобразуются как:
ˉ∂∂ˉξ∗→ψˉ∂∂ˉψψˉξ∗=ψˉ∂∂ˉξ∗
−m2ˉξ∗→ψ(−m2)ˉξ∗
То есть уравнение
ˉ∂∂ˉξ∗=−m2ˉξ∗
соответствует принципу относительности Пуанкаре.
И точно также рассмотрим второй вариант, величину ∂ˉ∂ и к какому сопряжению она должна применяться.
∂ˉ∂→ψ∗∂ˉ∂ˉ∂∗
И для того, чтобы сократить величину ˉψ∗ стоящую справа, мы должны использовать для спинора сопряжение с перестановкой полуоператора, то есть содержащее векторное сопряжение полуоператора. Итого, уравнение слева должно быть:
∂ˉ∂ˉξ→ψ∗∂ˉ∂ˉξ
И его часть справа:
−m2ˉξ→−m2ψ∗ˉξ
Таким образом, уравнение
∂ˉ∂ˉξ=−m2ˉξ
также соответствует принципу относительности Пуанкаре.
Гиперкомплексные спиноры, оглавление
Комментариев нет:
Отправить комментарий