Уравнения типа Клейна-Гордона с моментами

Рассмотренные ранее уравнения дираковского типа можно использовать для построения уравнений типа Клейна-Гордона. При этом в уравнение начинают входить величины, которые преобразуются как композиционные. То есть могут быть, например, углами или моментами.

Спиноры и композиционные цепочки

Если есть величина, преобразуемая при преобразовании Лоренца, то мы можем её умножить на композиционную величину произвольное количество раз и получить снова величину, преобразующуюся точно также. О чем именно речь, попробуем разобраться.

Уравнения типа Клейна-Гордона

Уравнение Клейна-Гордона представляет собой релятивистское представление состояния спинора как релятивистский вариант уравнения Шредингера. Оно связывает условный квадрат модуля оператора дифференцирования, применяемого к спинору и квадрат массы, применяемого также к спинору. Как оно может выглядеть в гиперкомплексной записи, попробуем разобраться.

Уравнения дираковского типа

Продолжим поиски уравнения на собственные векторы оператора дифференцирования, но так чтобы оно содержало в левой и правой частях одинаково сопряженные спиноры. И при этом обе части преобразовывались бы одинаково при преобразованиях Лоренца.

Оператор дифференцирования и спинор

Если есть уравнение, содержащее в левой части и оператор дифференцирования и спинор, а в правой части спинор умноженный на скаляр, то возникает вопрос - как выглядит такое уравнение при преобразованиях Лоренца? Попробуем разобраться.

Циклические компоненты матриц Паули

Циклические компоненты матриц Паули не имеют собственных значений, так как не существует обратных к ним матриц и эти матрицы не являются эрмитовыми. Чем нам тут могут помочь гиперкомплексные числа, попробуем разобраться.

Матрицы Паули и собственные числа

Насколько различные представления матриц Паули соответствуют исходной задаче на собственные числа оператора спина? В чем они совпадают и в чем нет? Попробуем разобраться.

Матричные представления спиноров

В общепринятом представлении спиноров используется понимание их как двухкомпонентных чисел с комплексными коэффициентами. Речь идет о спинорах первого ранга. При этом выяснилось, что они в произведении ведут себя как бикватернионы. Но у бикватернионов есть несколько матричных представлений. Которые из них подходят? Попробуем разобраться.

Симплектическое представление и спиноры

В проведенных ранее исследованиях

Спиноры и вращения
Спиноры и преобразования Лоренца

мы выяснили, что при преобразовании векторов при смене системы координат спиноры так;е испытывают преобразование тем же полуоператором, но умножаемым лишь с одной стороны. Мы можем выразить спинор в виде гиперкомплексных чисел, или есть ли между ними соответствие? Попробуем разобраться.

Инвариантный объем на спинорах

Среди инвариантов, существующих у спиноров, есть такой который можно вывести из простых рассуждений.

Инвариантное произведение спиноров

Если есть исследованное ранее скалярное произведение гиперкомплексных чисел как взятие скалярной части от произведения взаимносопряженных чисел, то также будет интересно применить это же правило к спинорным величинам. И к чему это приведет, попробуем разобраться.

Спиноры, векторы и углы

В название вынесены объекты, преобразующиеся по-разному. Под углами в данном случае собраны все композиционно преобразуемые величины. В чем их существенные отличия, попробуем разобраться.

Спиноры и преобразование Лоренца

Ранее мы рассмотрели как можно выразить вращение спинора в гиперкомплексных числах:

Спиноры и вращение

Далее проолжим исследование и рассмотрим как преобразуются спиноры при преобразовании Лоренца применяемом к векторам, то есть при переходе к другой системе координат.

Спиноры и вращение

Можно ли представить спиноры гиперкомплексными числами? Если да, то как именно? Рассмотрим операцию вращения спиноров при вращении векторов при переходе от одной системы координат к другой. Используем в качестве источника статью

Спинорное исчисление. БСЭ.

и попробуем разобраться.

Гиперкомплексные спиноры