К оглавлению:
Произведения бивекторов
В описании скалярного, псевдоскалярного и векторного произведений бивекторов
было указано правило сопоставления, которое может оказаться незамеченным, но оно
очень важно:
$$
\begin{array}{c}
V_1=x \\
V_2=\bar{y}
\end{array}
$$
Здесь явно задается, что рассматривавшиеся далее произведения линейны по
компонентам $x$, но нелинейны по компонентам $y$.
Соответственно, если взять два бивектора и не зафиксировать порядок их участия в
скалярном произведении, то возможны следующие варианты:
$$
\begin{array}{c}
(x,y)=Scl(x\bar{y})=Scl(\bar{y},x) \\
(x,y)=Scl(y\bar{x})=Scl(\bar{x},y)
\end{array}
$$
И результаты первого и второго определения различны. Первое линейно по $x$, но
нелинейно по $y$ и второе наоборот, линейно по $y$ и нелинейно по $x$.
Если обратиться к справочным сведениям о свойствах скалярного произведения
приведенным в Википедии, то можно найти:
$$
(\alpha\bf{a},\beta\bf{b})=\alpha\bar{\beta}(\bf{a},\bf{b})
$$
Видно, что в Википедии сделан выбор в пользу первого из вариантов. Это вытекает
из свойств алгебраического сопряжения произведения бикватерниона на комплексное
число.
То же самое относится и к псевдоскалярному, и к векторному произведению
бивекторов.
Если есть два определения скалярного произведения, то можно оставить лишь одно,
первое, подразумевая что второй вариант может быть получен перестановкой
аргументов и если не забывать, что, вообще говоря, не для всех алгебр
выполняется равенство
$$
(x,y)=(y,x)
$$
К оглавлению:
Произведения бивекторов
Комментариев нет:
Отправить комментарий