К оглавлению:
Произведения бивекторов
Важной частью свойств произведений бивекторов, скалярного, псевдоскалярного и
векторного видится характер их преобразований при преобразованиях Лоренца,
применяемых к исходным бивекторам.
Сначала рассмотрим, как преобразуются два исходных бивектора $x$ и $y$
участвующие во взаимном отношении:
$$
\begin{array}{c}
x\rightarrow \varkappa x \bar{\varkappa} \\
\bar{y}\rightarrow \varkappa \bar{y} \bar{\varkappa} \\
\end{array}
$$
Здесь $\varkappa$ - обозначенный для краткости полуоператор преобразования
Лоренца, экспонента от половины бивектора быстроты и угла поворота:
$$
\begin{array}{c}
\varkappa = e^{\psi/2+\varphi/2} \\
\varkappa = e^{-\psi/2-\varphi/2}
\end{array}
$$
Соответственно, взаимное отношение преобразуется как:
$$
x\bar{y}\rightarrow \varkappa x \bar{\varkappa}
\varkappa \bar{y} \bar{\varkappa}
$$
Поскольку
$$
\bar{\varkappa} \varkappa = 1
$$
Это выражение преобразуется в
$$
x\bar{y}\rightarrow \varkappa x \bar{y} \bar{\varkappa}
$$
В произведение $x \bar{y}$ входят скалярная, псевдоскалярная и бивекторная
части. Поскольку скалярная и псевдоскалярная части коммутируют по умножению с
полуоператором преобразования Лоренца, то и скалярное и псевдоскалярное
произведения бивекторов есть неизменные лоренц-инварианты.
$$
\begin{array}{c}
Scl(x\bar{y})\rightarrow \varkappa Scl(x \bar{y}) \bar{\varkappa} = Scl(x
\bar{y}) \\
Pscl(x\bar{y})\rightarrow \varkappa Pscl(x \bar{y}) \bar{\varkappa} = Pscl(x
\bar{y})
\end{array}
$$
И, соответственно, бивекторная часть результата преобразуется при
преобразованиях Лоренца как бивектор.
Нужно понимать, что получаемые в результате взаимного отношения величины хотя и
имеют характеристики скаляра, псевдоскаляра и бивектора, они относятся к иному
пространству, чем исходные бивекторы. В частности, они имеют иные размерности.
Скажем, если исходные бивекторы имели размерности $m^2$, то результат имеет
размерность $m^4$.
К оглавлению:
Произведения бивекторов
Комментариев нет:
Отправить комментарий