Селектор нильпотентности и дискриминант

В проведенном ранее исследовании нахождения матричной экспоненты 2x2 был найден повторяющийся радикал, названный селектором нильпотентности. Название было выбрано потому, что по значению этого радикала определялось какая из форм результата будет получена. И, если значение было нулевым, то оно указывало на нильпотентный вариант. Разберемся, имеет ли этот радикал представление в формализме, не использующем гиперкомплексные числа.

При нахождении экспоненты используя матричный формализм отыскиваются собственные значения и собственные векторы матрицы. Среди наборов собственных чисел особняком стоит случай кратных собственных значений, который и ведет к получению экспоненты используя случай нильпотентности.

Опуская детали получения матричной экспоненты через собственные значения, перейдем к случаю кратных значений. Для матрицы 2x2 их ожидается получить 2 штуки. Обозначим их через $\lambda_1$ и $\lambda_2$. Можем сформулировать случай двух значений как квадратное уравнение относительно переменной, соответствующей собственному значению $\lambda$: $$ (\lambda-\lambda_1)(\lambda-\lambda_2)=0 $$ Если его корни кратные, то дискриминант такого уравнения должен быть равен нулю. И в определенном смысле дискриминант такого характеристического уравнения играет роль точно такую же как и полученный ранее селектор нильпотентности.

Селектор был получен в виде: $$ (a_{22}-a_{11})^2-(a_{12}-a_{21})^2+(-a_{21}-a_{12})^2 $$ В гиперкомплексном формализме это соответствовало квадрату мнимых составляющих гиперкомплексных параметров $$ x_1^2-x_6^2+x_3^2 $$ Поскольку рассматривались лишь матрицы над полем действительных чисел, то полный бикватернион сокращался до кокватерниона.

Теперь перейдем к собственным значениям матрицы и раскроем характеристическое уравнение: $$ \lambda^2-\lambda(\lambda_1+\lambda_2)+\lambda_1\lambda_2=0 $$ Если бы значений $\lambda$ ожидалось больше, то и порядок уравнения стал бы больше. Коэффициенты такого алгебраического уравнения получили название формул Виета. Для случая матриц 2x2 в наше поле зрения попадают лишь часть из них, ограниченная набором из $$ \begin{array}{c} \lambda_1+\lambda_2 \\ \lambda_1\lambda_2 \end{array} $$ Из матричного анализа известно, что сумме собственных значений соответствует след матрицы, а их произведению - определитель матрицы. То есть мы можем их вычислять через величины матричного анализа как: $$ \begin{array}{c} \lambda_1+\lambda_2 = \mathrm{tr}(A)\\ \lambda_1\lambda_2 = \mathrm{det}(A) \end{array} $$ Подставив в характеристическое уравнение эти величины, получим: $$ \lambda^2-\mathrm{tr}(A)\lambda-\mathrm{det}(A)=0 $$ Для такого квадратного уравнения дискриминант равен: $$ D=\mathrm{tr}^2(A)-4\mathrm{det}(A) $$ Если раскрыть оба выражения, и для селектора нильпотентности и для дискриминанта через коэффициенты матрицы, то получим одно и то же выражение в виде $$ a_{22}^2-2a_{11}a_{22}+4a_{12}a_{21}+a_{11} $$ То есть они задают один и тот же радикал выбора решения.