Перестановочность произведений бивекторов

К оглавлению: Произведения бивекторов

Рассмотрим получение скалярного, псевдоскалярного и векторного произведений бивекторов как соответствующих компонент произведения первого бивектора на алгебраически сопряженный второй бивектор.

Если есть бикватернион произведения $$ z=x\bar{y} $$ То скалярным произведением бивекторов $x$ и $y$ будет скалярная составляющая $z$, или компонента при действительной единице 1, псевдоскалярным произведением псевдоскалярная составляющая, или компонента при единице $I$ и остальные составляющие при компонентах в которых участвуют единицы $i$, $j$ и $k$, будет векторным произведением.

Обозначим два бивектора используя те же обозначения что и в обозначении напряженностей ЭМ поля: $$ \begin{array}{c} V_1=I{\bf E_1}+{\bf B_1} \\ V_2=I{\bf E_2}+{\bf B_2} \end{array} $$ Здесь явно вынесена псевдоскалярная единица $I$ и таким образом величины ${\bf E }$ и ${\bf B}$ рассматриваются как мнимые кватернионы. Для их произведения верно правило соответствия операциям векторной алгебры: $$ (ia_x+ja_y+ka_z)(ib_x+jb_y+kb_z)=-({\bf a},{\bf b})+[{\bf a},{\bf b}] $$ Для решения задачи нахождения произведений бивекторов $x$ и $y$ будем условно сопоставлять их $$ \begin{array}{c} V_1=x \\ V_2=\bar{y} \end{array} $$ Как было выяснено ранее, алгебраическое сопряжение для биветкоров нелинейно и есть отношение полинома третьей степени к квадратному корню из полинома четвертой степени.

Теперь раскроем произведение бивекторов $V_1$ и $V_2$ и рассмотрим по отдельности компоненты результата $$ \begin{array}{c} V_1V_2=(I{\bf E}_1+{\bf B}_1)(I{\bf E}_2+{\bf B}_2)=\\ = ({\bf E}_1,{\bf E}_2)-[{\bf E}_1,{\bf E}_2]-\\ -I({\bf E}_1,{\bf B}_2)+I[{\bf E}_1,{\bf B}_2]-\\ -I({\bf B}_1,{\bf E}_2)+I[{\bf B}_1,{\bf E}_2]-\\ -({\bf B}_1,{\bf B}_2)+[{\bf B}_1,{\bf B}_2] \end{array} $$ Здесь компонента результата при действительной единице содержит выражение $$ ({\bf E}_1,{\bf E}_2)-({\bf B}_1,{\bf B}_2) $$ Это и есть скалярное произведение двух бивекторов, если в качестве второго бивектора брать алгебраичеси сопряженный второй бивектор скалярного произведения. В силу того, что скалярное произведение трехмерных векторов перестановочно по аргументам, скалярное произведение бивекторов точно также перестановочно: $$ Scl(x\bar{y})=Scl(\bar{y}x) $$ Нужно помнить, что здесь речь идет не о бикватернионах в целом, а только о бивекторах.

Компонента результата при псевдоскалярной единице $I$ содержит псевдоскалярное произведение бивекторов: $$ -({\bf E}_1,{\bf B}_2)-({\bf B}_1,{\bf E}_2) $$ В силу свойств скалярного произведения трехмерных векторов псевдоскалярное произведение бивекторов также перестановочно по аргументам: $$ Pscl(x\bar{y})=Pscl(\bar{y}x) $$ И к векторному произведению относятся составляющие результата $$ \begin{array}{c} [V_1,V_2]=I[{\bf E}_1,{\bf B}_2]+I[{\bf B}_1,{\bf E}_2]- \\ -[{\bf E}_1,{\bf E}_2]+[{\bf B}_1,{\bf B}_2] \end{array}$$ Следовательно, результатом векторного произведения бивекторов также является бивектор. Здесь первая строка образует полярную составляющую бивектора результата, а вторая аксиальную составляющую.

В силу свойств векторного произведения трехмерных векторов для бивекторов также выполняется правило перестановки аргументов: $$ [V_1,V_2]=-[V_2,V_1] $$ К оглавлению: Произведения бивекторов