Алгебраическое сопряженние бивекторов

К оглавлению: Произведения бивекторов

Для построения произведений бивекторов на основе взаимного отношения нужно построить алгебраическое сопряжение бивекторов.

Принцип взаимного отношения двух элементов алгебры $x$ и $y$ основан на произведении $$ x\bar{y} $$ Если в качестве сопряжения здесь выбирать не алгебраическое, а или скалярное или векторное, то результатом в случае $y=x$ не станет скалярная величина. В частных случаях алгебр скалярное или векторное сопряжения могут в точности совпадать с алгебраическим, но это не общее правило, а частное свойство выбранной алгебры.

Взаимное отношение характеризует именно отношение между двумя элементами алгебры.

Для бивекторов построение алгебраического сопряжения в отличие от скалярного и векторного нетривиально. Например, можно решить уравнение где задана величина $x$ но надо найти $\bar{x}$ если $x$ - бивектор: $$ x\bar{x}=v $$ Здесь величина $v$ содержит ненулевую лишь скалярную компоненту а все остальные компоненты нулевые.

Второй вариант основан на построении матричного представления бикватерниона или комплексного кватерниона и взятия его обратного. Если сопоставить два уравнения $$ \begin{array}{c} x\bar{x}=|x|^2 \\ xx^{-1}=1 \end{array} $$ то, получив выражение для обратного $x^{-1}$, остается определить выражение $|x|^2$ и тогда получить алгебраически сопряженную величину в виде $$ \bar{x}=|x|^2x^{-1} $$ Нужно отметить, что в общем случае величина, обозначенная как $|x|^2$ необязательно должна выглядеть в виде привычных всем сумм или разностей квадратов. Будет лучше относиться к ней как к условной функции из двух аргументов, например $$ |x|^2 = P(x,2) $$ Общее правило для таких функций состоит в их размерности. Первый порядок по размерности совпадает с размерностью исходного объекта: $$ \begin{array}{c} \left[P(x,1)\right]=\left[x\right] \\ \left[P(x,n)\right]=\left[P(x,1)\right]^n \end{array} $$ При этом можно найти величину $P(x,n)$ и уже из нее определить величину $P(x,1)$, как это например делается для комплексных чисел или кватернионов, когда сначала определяется величина $P(x,2)$ и уже из нее $P(x,1)=|x|$. Такая величина $P$ и называется полимодулем гиперкомплексного числа.

Для построения полимодуля бикватерниона нужно взять его матричное представление и найти определитель. Используем систему компьютерной алгебры Maxima.

makemat(x0,x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7):=
matrix([x0,x1,x2,x3,-x4,-x5,-x6,-x7],
    [x1,x0,-x7,x6,x5,x4,-x3,x2],
    [x2,x7,x0,-x5,x6,x3,x4,-x1],
    [x3,-x6,x5,x0,x7,-x2,x1,x4],
    [x4,-x5,-x6,-x7,x0,-x1,-x2,-x3],
    [x5,-x4,x3,-x2,-x1,x0,-x7,x6],
    [x6,-x3,-x4,x1,-x2,x7,x0,-x5],
    [x7,x2,-x1,-x4,-x3,-x6,x5,x0]);
A:makemat(0,a1,a2,a3,0,a5,a6,a7);
D1:determinant(A);
D2:factor(D1);

Здесь в переменную $D1$ помещается полином с полимодулем и далее ищется его факторизация, не является ли он степенью полинома меньшей степени.

В результате получаем

D2 = (a7^4+2*a6^2*a7^2+2*a5^2*a7^2+2*a3^2*a7^2-
     2*a2^2*a7^2-2*a1^2*a7^2+
     8*a2*a3*a6*a7+8*a1*a3*a5*a7+
     a6^4+2*a5^2*a6^2-2*a3^2*a6^2+
     2*a2^2*a6^2-2*a1^2*a6^2+8*a1*a2*a5*a6+a5^4-
     2*a3^2*a5^2-2*a2^2*a5^2+
     2*a1^2*a5^2+a3^4+2*a2^2*a3^2+2*a1^2*a3^2+
     a2^4+2*a1^2*a2^2+a1^4)^2

То есть это квадрат полинома четвертой степени. Далее попробуем его представить на основе более простых представлений, разделив по отдельности полярную и аксиальную части:

V1:a1*a5+a2*a6+a3*a7;
V2:expand(V1*V1);
V3:a1^2+a2^2+a3^2-a5^2-a6^2-a7^2;
V4:expand(V3*V3);
V5:expand(V3*V3+4*V1*V1);

В результате получаем то же самое выражение полимодуля:

V5 = (a7^4+2*a6^2*a7^2+2*a5^2*a7^2+2*a3^2*a7^2-
     2*a2^2*a7^2-2*a1^2*a7^2+
     8*a2*a3*a6*a7+8*a1*a3*a5*a7+
     a6^4+2*a5^2*a6^2-2*a3^2*a6^2+
     2*a2^2*a6^2-2*a1^2*a6^2+8*a1*a2*a5*a6+a5^4-
     2*a3^2*a5^2-2*a2^2*a5^2+
     2*a1^2*a5^2+a3^4+2*a2^2*a3^2+2*a1^2*a3^2+
     a2^4+2*a1^2*a2^2+a1^4)^2

То есть найденный полимодуль является квадратом модуля комплексного числа

V3+%i*2*V1

Можно выбрать в качестве примера бивектор напряженностей ЭМ поля $$ IiE_x+IjE_y+IkE_z+iB_x+jB_y+kB_z = {\bf E} + {\bf B} $$ В этих обозначениях $$ \begin{array}{c} V1 = ({\bf E}, {\bf B}) \\ V3 = {\bf E}^2 - {\bf B}^2 \end{array} $$ Если взять квадрат от бивектора в выбранных обозначениях, то $$ ({\bf E} + {\bf B})^2={\bf E}^2 - {\bf B}^2 + 2I({\bf E}, {\bf B}) $$ И, собственно, полимодуль бивектора и есть квадрат модуля такого комплексного числа. Чтобы убедиться, что это не манипулирование похожими величинами, рассмотрим образование бивектора алгебраически.

Выберем в качестве образующей единицы единичный полярный вектор, например $Ii$. Выбрав в качестве парного к нему вектора образующего комплексную плоскость вектор $i$, можем представить исходный бивектор с модулем $m$ как выбранный единичный, умноженный на модуль, повернутый в комплексной плоскости на некоторый угол $I\varphi_4$ и вся полученная плоскость также повернута вокруг оси: $$ b=e^{\varphi/2}Iime^{I\varphi_4}e^{-\varphi/2} $$ Можно показать, что любой бивектор может быть задан этими параметрами, хотя такое задание и может оказаться неоднозначным. Положим, что нам известна величина такого бивектора в целом, но требуется найти величину $m$.

Сначала устраним величину $Ii$ путем возведения в квадрат: $$ b^2=e^{\varphi/2}\left(me^{I\varphi_4}\right)^2e^{-\varphi/2} $$ Поскольку в квадрате находится комплексное число не содержащее векторный единиц, его можно перенести: $$ b^2=\left(me^{I\varphi_4}\right)^2e^{\varphi/2}e^{-\varphi/2}= \left(me^{I\varphi_4}\right)^2 $$ И для нахождения модуля $m$ нужно умножить на скалярно сопряженную величину: $$ m^4=b^2\bar{b^2} $$ Таким образом мы пришли к нахождению того же самого полимодуля четвертой степени но алгебраически.

Для получения собственно модуля нужно взять корень соответствующей степени из полученного полимодуля. Если известен полимодуль четвертой степени но нужен модуль в квадрате, то, соответственно, нужно взять корень второй степени из полимодуля четвертой степени.

Теперь нужно найти обратную величину к заданному бивектору. Для этого также используем систему компьютерной алгебры Maxima.

makemat(x0,x1,x2,x3):=
matrix(
    [x0,-x1,-x2,-x3],
    [x1,x0,-x3,x2],
    [x2,x3,x0,-x1],
    [x3,-x2,x1,x0]);
A:makemat(0,%i*a1+a5,%i*a2+a6,%i*a3+a7);
B:ratsimp(invert(A));

b21i:factor(imagpart(B[2,1]));
b21r:factor(realpart(B[2,1]));

b31i:factor(imagpart(B[3,1]));
b31r:factor(realpart(B[3,1]));

b41i:factor(imagpart(B[4,1]));
b41r:factor(realpart(B[4,1]));

comdenom:denom(b21r);

b1:num(b21i);
b2:num(b31i);
b3:num(b41i);

b5:num(b21r);
b6:num(b31r);
b7:num(b41r);

Здесь в переменную $comdenom$ записывается общий для всех компонент обратного бивектора знаменатель. Скалярная и псевдоскалярная части обратного бивектора равны нулю. В значения переменных $b1\ldots b7$ записываются числители компонент. И значением компоненты обратного бивектора является соответствующая величина $b1\ldots b7$ деленная на общий знаменатель.

Величины переменных равны:

(comdenom) a7^4+2*a6^2*a7^2+2*a5^2*a7^2+
           2*a3^2*a7^2-2*a2^2*a7^2-2*a1^2*a7^2+
           8*a2*a3*a6*a7+8*a1*a3*a5*a7+a6^4+
           2*a5^2*a6^2-2*a3^2*a6^2+
           2*a2^2*a6^2-2*a1^2*a6^2+8*a1*a2*a5*a6+
           a5^4-2*a3^2*a5^2-2*a2^2*a5^2+
           2*a1^2*a5^2+a3^4+2*a2^2*a3^2+
           2*a1^2*a3^2+a2^4+2*a1^2*a2^2+a1^4
(b1) -a1*a7^2+2*a3*a5*a7-a1*a6^2+2*a2*a5*a6+
     a1*a5^2+a1*a3^2+a1*a2^2+a1^3
(b2) -a2*a7^2+2*a3*a6*a7+a2*a6^2+2*a1*a5*a6-
     a2*a5^2+a2*a3^2+a2^3+a1^2*a2
(b3) a3*a7^2+2*a2*a6*a7+2*a1*a5*a7-a3*a6^2-
     a3*a5^2+a3^3+a2^2*a3+a1^2*a3
(b5) -a5*a7^2-2*a1*a3*a7-a5*a6^2-2*a1*a2*a6-
     a5^3+a3^2*a5+a2^2*a5-a1^2*a5
(b6) -a6*a7^2-2*a2*a3*a7-a6^3-a5^2*a6+a3^2*a6-
     a2^2*a6+a1^2*a6-2*a1*a2*a5
(b7) -a7^3-a6^2*a7-a5^2*a7-a3^2*a7+a2^2*a7+
     a1^2*a7-2*a2*a3*a6-2*a1*a3*a5

Если значения компонент обратного бивектора есть отношение полиномов соответствующих третьего порядка $$ B_i=b_i/comdenom=P^3_i/P^4 $$ то для получения алгебраически сопряженного эти компоненты нужно умножить на квадрат модуля: $$ \bar{B}_i=(P^3_i/P^4)P^2=P^3_i/\sqrt{comdenom} $$ Таким образом мы получили алгебраичеси сопряженный бивектор. В отличие от привычных всем алгебраических сопряжений комплексных чисел и кватернионов, где достаточно сменить знаки у мнимых комопнент, для бивекторов алгебраически сопряженная величина состоит из полиномов третей степени деленных на квадратный корень из полинома четвертой степени. Соответственно, это сопряжение нелинейно.

К оглавлению: Произведения бивекторов