Формализация принципа относительности

Ранее уже рассматривался принцип относительности:

О принципе относительности

О принципе относительности Пуанкаре

Но рассмотрения не были завершены формализацией в том виде, чтобы можно было применять для проверки формул формально. При этом отдельные фрагменты формализации принципа относительности использовались в отдельных исследованиях. Сведем формальные критерии вместе.

Принцип относительности Пуанкаре описывает такую необходимость формирования, или формулирования, закона природы, чтобы он для различных наблюдателей выглядел одинаково. Например, если для одного (первого) наблюдателя есть три величины $A$, $B$ и $C$, и для него они связаны уравнением: $$ AB=C $$ то для другого (второго) наблюдателя эти же величины могут иметь иную величину: $A'$, $B'$ и $C'$, но в законе описывающем то же самое явление их связь должна быть той же что и для первого наблюдателя: $$ A'B'=C' $$ Если переход от первого наблюдателя ко второму описывается преобразованием Лоренца с полуоператором $\varkappa$ (экспонента от суммы половины быстроты и половины угла), то можем сделать вывод, что математическая запись закона включает преобразованные величины, но не содержит сами полуоператоры.

Положим, что есть две величины одинаковой природы и преобразуются одинаково: $$ \begin{array}{c} D'=\varkappa^{(1)}D\varkappa^{(2)} \\ E'=\varkappa^{(1)}E\varkappa^{(2)} \end{array} $$ здесь $\varkappa^{(1)}$ и $\varkappa^{(2)}$ - полуоператоры $\varkappa$, сопряженные некоторым первым и некоторым вторым сопряжениями.

Если для первого наблюдателя $$ D=E $$ то для второго должно выполняться $$ \begin{array}{c} D'=E' \\ \varkappa^{(1)}D\varkappa^{(2)}= \varkappa^{(1)}E\varkappa^{(2)} \end{array} $$ Мы можем это уравнение умножить слева на $\bar{\varkappa}^{(1)}$ и справа на $\bar{\varkappa}^{(2)}$ и получить: $$ \begin{array}{c} \bar{\varkappa}^{(1)}\varkappa^{(1)}D\varkappa^{(2)}\bar{\varkappa}^{(2)}= \bar{\varkappa}^{(1)}\varkappa^{(1)}E\varkappa^{(2)}\bar{\varkappa}^{(2)} \\ D=E \end{array} $$ То есть к критериям формализации принципа относительности Пуанкаре можем отнести то, что обе части уравнения, слева и справа, должны 1) преобразовываться одинаково и 2) так, чтобы обе части можно было умножить слева и справа на ненулевую и небесконечную величину и чтобы при этом в уравнении не осталось полуоператоров преобразования Лоренца перехода от одного наблюдателя к другому. К третьему критерию формализации отнесем требование формулировать закон, использующий произведения величин, так чтобы при их преобразованиях полуоператоры, стоящие внутри цепочки произведений, сокращались, и оставались лишь полуоператоры слева и справа. Если остаются полуоператоры в цепочке, то получается закон, зависящий от взаимного движения наблюдателей.

Возможно, что формулировка независимости закона от движения одного наблюдателя имеет происхождение в принятии неявного предположения что закон зависит от движения между этим наблюдателем и неким абсолютным, или опорным, наблюдателем относительно которого отсчитывают движение все наблюдатели.

Например, если есть спинор $\xi$, то он преобразуется при преобразовании Лоренца как $$ \xi\rightarrow\varkappa\xi $$ Соответственно, произведение сопряженных спиноров $$ \xi_1\bar{\xi}_2\rightarrow \varkappa\xi_1\bar{\xi}_2\bar{\varkappa} $$ не содержит полуоператора внутри цепочки, а только по краям, но произведение несопряженных спиноров $$ \xi_1\xi_2\rightarrow \varkappa\xi_1\varkappa\xi_2\ $$ уже содержит. То есть второй вариант не соответствует принципу относительности Пуанкаре.

К четвертому критерию формализации можно отнести независимость друг от друга сопряжений $\varkappa^{(1)}$ и $\varkappa^{(2)}$. Они могут быть сопряжены друг другу произвольно. Причина этого критерия в том, что умножения на сопряженные полуоператоры $\bar{\varkappa}^{(1)}$ и $\bar{\varkappa}^{(2)}$ выполняются независимо друг от друга. И, более того, один (или даже оба) из этих полуоператоров может отсутствовать.

К правилам сопряжений полуоператоров при преобразованиях базовых величин можно отнести сопряжения левого и правого полуоператоров 4-векторов, бивекторов, спиноров и оператора дифференцирования.

4-векторы при преобразованиях Лоренца при задании полуоператора преобразуются как: $$ X\rightarrow\varkappa X \bar{\varkappa}^* $$ Бивекторы преобразуются как $$ b\rightarrow\varkappa b \bar{\varkappa} $$ Спиноры преобразуются как $$ \xi\rightarrow\varkappa\xi $$ И оператор дифференцирования преобразуется как сопряженный 4-вектор $$ \partial\rightarrow\varkappa^*\partial\bar{\varkappa} $$ где исходный оператор дифференцирования задается как $$ \partial=\frac{\partial}{c\partial t}+ Ii\frac{\partial}{\partial x}+ Ij\frac{\partial}{\partial y}+ Ik\frac{\partial}{\partial z} $$ В рассмотренном ранее исследовании

О принципе относительности Пуанкаре

шла речь о более узком варианте, об использовании лишь бивекторов, поскольку их суммы и произведения преобразуются соответственно в суммы и произведения. В действительности в таком сужении нет необходимости, уравнения могут содержать леавую и павую части, преобразуемые не только как бивекторы. Важно лишь чтобы выполнялись вышеперечисленные четыре критерия формализации.

Почему именно принцип а не закон относительности? К законам мы относим то, что можем или доказать, или вывести, или обосновать. К принципам же относим то, что мы видим что выполняется и что описывает явления природы, но не можем вывести. К ним относим например принцип относительности Пуанкаре, или принцип запрета Паули, или принцип наблюдаемости. Если в будущем мы сможем найти как эти принципы можно вывести из других законов, тогда мы переименуем их в законы.

Ссылки:

О принципе относительности

О принципе относительности Пуанкаре