Используя параметрическое представление ускорения, построим операторное с одним небольшим дополнением. А именно, потребуем, чтобы время, по которому производилось дифференцирование, преобразовывалось как строгий Лоренц-инвариантный скаляр.
То есть предположим, что существует и найдется такое время $\tau$, которое при преобразованиях Лоренца переходит само в себя но ни при какого вида движении не переходит в ноль.
И в таком предположении рассмотрим преобразование вектора и пространственного вектора. Основу построения производной по дифференциалу $\tau$ возьмем здесь:
Ускорение и векторная величина$$ \frac{dA_0}{d\tau}=(\eta,{\bf A}) $$ $$ \frac{d{\bf A}}{d\tau}=\eta A_0+[\omega,{\bf A}] $$ Здесь первое уравнение представляет собой скалярную часть, второе - полярную. В определенном смысле полученное выражение $$ \frac{dA}{d\tau}=V_{\tau} $$ есть скорость изменения величины $A$. И в случае если $A$ есть пространственный вектор то скорость по времени $\tau$ и будет представлена этой производной. Пока речь о том какова природа этого времени $\tau$ не ведется. Просто предположим его существование.
Ускорение и пространственный вектор
Далее перейдем к образованию динамического ускорения от такой скорости в виде $$ \partial\frac{dA}{d\tau}=\partial V_{\tau} $$ здесь $$ A=ct + Iix + Ijy +Ikz $$ $$ \partial = \frac{\partial}{c\partial t} +Ii\frac{\partial}{\partial x} +Ij\frac{\partial}{\partial y} +Ik\frac{\partial}{\partial z} $$ Производная по времени $\tau$ будет равна в компонентах: $$ \begin{array}{c} V_{\tau}=\eta_xx+\eta_yy+\eta_zz +\\ +Ii(\eta_xct+\omega_yz-\omega_zy)+\\ +Ij(\eta_yct+\omega_zx-\omega_xz)+\\ =Ik(\eta_zct+\omega_xy-\omega_yx) \end{array} $$ Задача применения оператора дифференцирования $\partial$ к такой структуре упрощается тем, что все компоненты скорости $V_{\tau}$ линейны по пространственно-временным координатам. Непосредственным применением оператора $\partial$ к скорости $V_{\tau}$ получаем результат: $$ 2Ii\eta_x+2Ij\eta_y+2Ik\eta_z-2i\omega_x-2j\omega_y-2k\omega_z $$ или $$ \partial V_{\tau}=2(\eta-\omega) $$ Используя сопряжения, можем привести к использованной в параметрической ускорении сумме: $$ \partial V_{\tau}=-2(\eta+\omega)^* $$ Если параметрическое ускорение преобразуется как и параметры преобразования Лоренца
Преобразование преобразования$$ \eta+\omega\rightarrow e^{\psi/2}(\eta+\omega)e^{\bar{\psi^*}/2} $$ то динамическое ускорение преобразуется иначе: $$ \partial A\rightarrow e^{\psi^*/2}\partial Ae^{\bar{\psi}/2} $$ то есть как комплексно сопряженная величина.
И, как было выведено ранее, динамическое ускорение действительно соотносится с параметрическим как комплексно сопряженная величина.
В результирующей формуле для динамического ускорения никак не фигурирует переменная дифференцирования $\tau$. В течении вывода лишь предполагалось её существование и то, что она является чистым Лоренц-инвариантным скаляром.
Ускорение и сила, оглавление
Комментариев нет:
Отправить комментарий