Преобразование преобразования

Преобразуются ли сами векторы преобразований при преобразованиях Лоренца?

Пусть первый наблюдатель видит движение двух объектов $A$ и $B$ друг относительно друга с некоторым, соответствующим этому движению, преобразованием Лоренца: $$B=T_bA\bar{T}_b^*$$ Второй наблюдатель движется относительно первого и это движение описывается преобразованием $T$. Он также видит оба объекта, как $A'$ и $B'$. Как они движутся друг относительно друга для второго наблюдателя?

Добавим к первому уравнению что нам известно. Оба объекта наблюдаются относительно первого наблюдателя: $$\begin{array}{c} A'=TA\bar{T}^* \\ B'=TB\bar{T}^* \end{array}$$ Для второго из этих уравнений подставим начальное уравнение: $$B'=TT_bA\bar{T}_b^*\bar{T}^*$$ И для первого из той же пары найдем обратное преобразование: $$A=\bar{T}A'T^*$$ Таким образом, если второй наблюдатель описывает движение объекта $B'$ относительно объекта $A'$ в виде преобразования $$B'=T_b'A'\bar{T'}_b^*$$ то искомое преобразование $T'_b$ должно быть равно: $$T'_b=TT_b\bar{T}$$ То есть относительное преобразование $T_b$ преобразуется композиционно. И полуоператор композиционного преобразования задается полуоператором преобразования Лоренца.

В силу того, что само преобразование $T_b$ есть экспонента, то есть функция представима рядом, то сами параметры преобразования $T_b$ также должны преобразовываться композиционно: $$T_b=e^{\varphi_b/2+\psi_b/2}\rightarrow Te^{\varphi_b/2+\psi_b/2}\bar{T}= e^{T(\varphi_b/2+\psi_b/2)\bar{T}}$$ В этом и проявляется их отличие от векторов. Когда векторы преобразуются преобразованием Лоренца с полуоператором $T$, параметры преобразования преобразуются с тем же полуоператором $T$, но композиционно.

Существует возможность спутать параметры преобразования с ветором если используются лишь 3-мерные повороты. В силу специфики для них скалярное сопряжение не меняет аргумент. Поэтому для них $$\bar{T}^*=\bar{T}$$ И для таких случаев преобразование 3-мерного вектора углового поворота выглядит также как преобразование 4-мерного вектора. Если в условии задачи не рассматриваются скалярные составляющие векторов пространства-времени, то очень легко обмануться.

В действительности же нет, преобразования Лоренца не приводят к появлению скалярной части у вектора поворота, потому что он преобразуется иначе.

Оглавление
Композиционные преобразования