Преобразуются ли сами векторы преобразований при преобразованиях Лоренца?
Пусть первый наблюдатель видит движение двух объектов $A$ и $B$ друг
относительно друга с некоторым, соответствующим этому движению, преобразованием
Лоренца:
$$
B=T_bA\bar{T}_b^*
$$
Второй наблюдатель движется относительно первого и это движение описывается
преобразованием $T$. Он также видит оба объекта, как $A'$ и $B'$. Как они
движутся друг относительно друга для второго наблюдателя?
Добавим к первому уравнению что нам известно. Оба объекта наблюдаются
относительно первого наблюдателя:
$$
\begin{array}{c}
A'=TA\bar{T}^* \\
B'=TB\bar{T}^*
\end{array}
$$
Для второго из этих уравнений подставим начальное уравнение:
$$
B'=TT_bA\bar{T}_b^*\bar{T}^*
$$
И для первого из той же пары найдем обратное преобразование:
$$
A=\bar{T}A'T^*
$$
Таким образом, если второй наблюдатель описывает движение объекта $B'$
относительно объекта $A'$ в виде преобразования
$$
B'=T_b'A'\bar{T'}_b^*
$$
то искомое преобразование $T'_b$ должно быть равно:
$$
T'_b=TT_b\bar{T}
$$
То есть относительное преобразование $T_b$ преобразуется композиционно. И
полуоператор композиционного преобразования задается полуоператором
преобразования Лоренца.
В силу того, что само преобразование $T_b$ есть экспонента, то есть функция
представима рядом, то сами параметры преобразования $T_b$ также должны
преобразовываться композиционно:
$$
T_b=e^{\varphi_b/2+\psi_b/2}\rightarrow
Te^{\varphi_b/2+\psi_b/2}\bar{T}=
e^{T(\varphi_b/2+\psi_b/2)\bar{T}}
$$
В этом и проявляется их отличие от векторов. Когда векторы преобразуются
преобразованием Лоренца с полуоператором $T$, параметры преобразования
преобразуются с тем же полуоператором $T$, но композиционно.
Существует возможность спутать параметры преобразования с ветором если
используются лишь 3-мерные повороты. В силу специфики для них скалярное
сопряжение не меняет аргумент. Поэтому для них
$$
\bar{T}^*=\bar{T}
$$
И для таких случаев преобразование 3-мерного вектора углового поворота выглядит
также как преобразование 4-мерного вектора. Если в условии задачи не
рассматриваются скалярные составляющие векторов пространства-времени, то очень
легко обмануться.
В действительности же нет, преобразования Лоренца не приводят к появлению
скалярной части у вектора поворота, потому что он преобразуется иначе.
Оглавление
Композиционные преобразования
Комментариев нет:
Отправить комментарий