Ковариантность относительно ускорения

Ускорение и сила, оглавление

Принцип относительности и ковариантности относительно преобразований Лоренца ьыл сформулирован и рассматривался для инерциальных систем отсчета. Он также был формализован в выражениях для гиперкомплексных полуоператоров:

О принципе относительности
О принципе относительности Пуанкаре
Формализация принципа относительности

Как меняется ковариантность при движении наблюдателя с ускорением?

Используя рассмотренную ранее формализацию принципа относительности, выделим два (из нескольких) ключевых свойства используемых полуоператоров и выражений для физических величин:

1) полуоператоры унитарны

2) выражения для физических величин строятся так, чтобы полуоператоры в середине цепочки произведений сокращались

При использовании операторного представления ускорения в обозначении вида $$ e^{(\eta+\omega)\Delta\tau/2} $$ где выражение включает как линейное ускорение так и угловую скорость, введение такого укорения дополнительно к используемому преобразованию Лоренца $$ e^{(\psi+\varphi)/2} $$ где выражение включает как линейную быстроту так и угол поворота, получим их композицию в виде полуоператора $$ e^{(\eta+\omega)\Delta\tau/2}e^{(\psi+\varphi)/2} $$ Здесь расположение полуоператоров в композиции указывает на то, что к имеющемуся движению с быстротой $\psi$ и углом $\varphi$ добавляется малое их изменение с убыстрением $\eta$ и угловой скоростью $\omega$.

Поскольку величина $\tau$ выбирается такой, что произведение $(\eta+\omega)\Delta\tau$ не только преобразуется так же как $\psi+\varphi$, но и точно так же не имеет скалярной части, то общий полуоператор $$ e^{(\eta+\omega)\Delta\tau/2}e^{(\psi+\varphi)/2} $$ также является унитарным.

Вообще говоря, величина $\tau$ может преобразовываться не как истинный Лоренц-инвариантный скаляр. Важно чтобы выбор пары $\eta+\omega$ и $\tau$ давал в произведении величину, как являющуюся бивектором, так и преобразующейся как бивектор параметра преобразования: \begin{quotation} Преобразование преобразования \begin{verbatim} https://thedarkaugust.blogspot.com/2022/12/blog-post_41.html \end{verbatim} \end{quotation} Произведения величин, сопряженных к $$ e^{(\eta+\omega)\Delta\tau/2} $$ сопрягаются по тем же правилам что и произведения величин сопряженных к $$ e^{(\psi+\varphi)/2} $$ Если в каком-либо выражении была последовательность $$ e^{\overline{(\psi+\varphi)}/2}e^{(\psi+\varphi)/2}=1 $$ то она при переходе к ускорению заменяется на $$ e^{\overline{(\psi+\varphi)}/2} e^{\overline{(\eta+\omega)}\Delta\tau/2} e^{(\eta+\omega)\Delta\tau/2} e^{(\psi+\varphi)/2}=1 $$ Если уравнения описывающие явления составлены таким образом, что полуоператоры сокращаются и при добавлении ускорения, то такие уравнения получаются ковариантными и относительно преобразования ускорения, задаваемого операторно.

Нужно отметить, что если переставить местами полуоператоры, результат не изменится. А именно, если $$ e^{(\psi+\varphi)/2}e^{\overline{(\psi+\varphi)}/2}=1 $$ то есть полуоператоры преобразования Лоренца в такой ситуации сокращаются, то при добавлении ускорения получается величина $$ e^{(\eta+\omega)\Delta\tau/2} e^{(\psi+\varphi)/2} e^{\overline{(\psi+\varphi)}/2} e^{\overline{(\eta+\omega)}\Delta\tau/2} =1 $$ Здесь сначала сокращаются внутренние полуоператоры и затем полуоператоры ускорения.

В целом, если ускорение задается в операторной форме и основано на параметрическом ускорении, то ковариантность уравнений можно распространить и на системы отсчета наблюдателей если они движутся с таким ускорением. Например, уравнения Максвелла описывающие электромагнитные явления, к примеру работу электродвигателя, будут справедливы и для наблюдателя стоящего на земле и для наблюдателя качающегося на качелях и для наблюдателя на карусели.

Ускорение и сила, оглавление