Андрей Котов в комментариях к посту о матричном представлении комплексных чисел задал вопрос о практическом применении матричного представления. Хотя вопрос касался лишь комплексных чисел, мне видится что при взвешенном отношении к этой теме стоит ответить развернуто в формате отдельного поста, о матричном представлении в целом. После обдумывания ответа собралось несколько пунктов.
1. Снятие боязни странных мнимых единиц. Если переходить от странных i, j, k и других единиц к заменяющим их матрицам то можно перейти к оперированию обычными матрицами с действительными коэффициентами. Человек может перестать теряться от непонятных обозначений и легко проверить как что умножается. Этот пункт скорее психологический.
2. Вправляет голову на тему отсутствия деления. Так же как в матрицах, в гиперкомплексных числах на самом деле деления нет, а есть умножение на обратное. Эту операцию и принимают за деление. Вообще говоря, когда говорят о теоремах об алгебрах сделением, подразумевается как раз существование обратного. В комплексных числах то же самое, вместо деления мы на самом деле умножаем на обратное. Даже при взятии производной. Но для комплексных чисел это происходит как-бы незаметно из-за коммутативности, у них левое и правое обратные не только совпадают, но и произведение как слева так и справа неотличимы. Хотя матрицы сами по себе формально некоммутативны, матричное представление комплексных чисел образует коммутативную подалгебру.
3. Вправляет голову с квадратным корнем из -1. Конечно, такого нет. Если заменить i на матрицу, ей соответствующую, становится видно что результат возведения в квадрат является не действительной -1, а матрицей. А матрица не есть действительное число.
4. Нахождение полимодуля. Не для всех алгебр можно легко найти чему равно сопряженное число такое чтобы произведение его на исходное число давало квадратичную форму, называемую квадратом модуля. Не то чтобы нелегко найти, а даже можно сказать что модуль для многих алгебр выражается не квадратичной формой. И речь идет не о квадрате модуля, а о полимодуле как полиномиальной форме. Для некоторых алгебр такие полимодули упрощаются до четных степеней квадратичных форм, как например для кватернионов.
5. Перечисление подалгебр. Используя матричное представление и кроссминоры можно быть полностью уверенным, что этот метод действительно дает полное перечисление всех подалгебр для заданной алгебры.
6. Использование в системах компьютерной алгебры. Используя матричное представление можно объявить как оприровать численно или аналитически, в зависимости от используемой системы компьютерной алгебры, с выбранной гиперкомплексной алгеброй. Компьютерные систмы могут не иметь ни малейшего представления что такое к примеру кватернион или бикомплексное число, но оперируют матрицами. К сожалению, такой подход в силу ассоциативности матриц работает лишь применительно к ассоциативным алгебрам. С другой стороны, если алгебра описывает некую группу, то она является ассоциативной.
Из перечисленных пунктов первый в отношении окмплексных чисел скорее психологический. Второй также мало что дает кроме полноты представления с чем имеем дело. Третий уже методичен, хотя нового результата и не дает. Четвертый гарантирует, что мы в алгебре комплексных чисел действительно работаем с полной версией полимодуля. Для комплексных чисел он совпадает с квадратом модуля. Пятый гарантирует, что в алгебре комплексных чисел действительно нет других подалгебр кроме алгебры действительных чисел. Шестой дает шанс использовать систему компьютерной алгебры, не поддерживающую комплексные числа, но поддерживающую матрицы.
В целом же, применительно именно к комплексным числам, их матричное представление в силу свойств комплексных чисел просто не дает никакой новой информации. Но для других алгебр ситуация иная.
Комментариев нет:
Отправить комментарий