При скалярном и векторном сопряжении у гиперкомплексного числа меняются знаки у компонент, в образовании которых участвуют соответствующая скалярная или векторная мнимая единица. В случае если мнимая единица всего одна, то она может считаться и скалярной и векторной.
В качестве примера приведем несколько алгебр. В случае алгебры комплексных чисел x=x0+ix1x=x0+ix1 i2=−1+i0i2=−1+i0 При скалярном сопряжении меняется знак у мнимой компоненты x1x1: x∗=x0−ix1x∗=x0−ix1 В случае алгебры кватернионов x=x0+ix1+jx2+kx3x=x0+ix1+jx2+kx3 нет скалярной мнимой единицы, но есть векторные. При векторном сопряжении меняем их знак: ¯x=x0−ix1−jx2−kx3¯¯¯x=x0−ix1−jx2−kx3 В случае алгебры бикватернионов присутствует и скалярная мнимая единица II и три векторные ii, jj, kk. При скалярном сопряжении меняем знак у компонент при мнимой единице II: x=x0+Iix1+Ijx2+Ikx3+Ix4+ix5+jx6+kx7x=x0+Iix1+Ijx2+Ikx3+Ix4+ix5+jx6+kx7 x∗=x0−Iix1−Ijx2−Ikx3−Ix4+ix5+jx6+kx7x∗=x0−Iix1−Ijx2−Ikx3−Ix4+ix5+jx6+kx7 При векторном сопряжении меняем знак у компонент при мнимых единицах ii, jj, kk: ¯x=x0−Iix1−Ijx2−Ikx3+Ix4−ix5−jx6−kx7¯¯¯x=x0−Iix1−Ijx2−Ikx3+Ix4−ix5−jx6−kx7 Для скалярного и векторного сопряжений результат операций сложений и умножений остается тем же с точностью до смены знаков (или направлений) соответствующих осей: (x+y)∗=x∗+y∗(x+y)∗=x∗+y∗ (xy)∗=x∗y∗(xy)∗=x∗y∗ ¯(x+y)=¯x+¯y¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯(x+y)=¯¯¯x+¯¯¯y ¯xy=ˉyˉx¯¯¯¯¯¯xy=¯y¯x Соответственно, если гиперкомплексное число имеет экспоненциальное представление x=eyx=ey то применение скалярного или векторного сопряжения к левой части влечет их же применение и к правой. А именно, если y→y∗y→y∗ то ey→ey∗=(ey)∗ey→ey∗=(ey)∗ Если y→¯yy→¯¯¯y то ey→e¯y=¯eyey→e¯¯¯y=¯¯¯¯¯ey И наоборот.
Следовательно, если к числу xx применяется скалярное или векторное или оба сопряжения, то они не меняют значение действительной части y0y0, находящегося в аргументе экспоненты.
Следовательно, поскольку полимодуль числа зависит от y0y0, то полимодуль такого числа также не изменяется: P(x∗)=P(x)P(x∗)=P(x) P(¯x)=P(x)P(¯¯¯x)=P(x) P(¯x∗)P(x)P(¯¯¯x∗)P(x)
К содержанию: Матричные представления гиперкомплексных чисел
В качестве примера приведем несколько алгебр. В случае алгебры комплексных чисел x=x0+ix1x=x0+ix1 i2=−1+i0i2=−1+i0 При скалярном сопряжении меняется знак у мнимой компоненты x1x1: x∗=x0−ix1x∗=x0−ix1 В случае алгебры кватернионов x=x0+ix1+jx2+kx3x=x0+ix1+jx2+kx3 нет скалярной мнимой единицы, но есть векторные. При векторном сопряжении меняем их знак: ¯x=x0−ix1−jx2−kx3¯¯¯x=x0−ix1−jx2−kx3 В случае алгебры бикватернионов присутствует и скалярная мнимая единица II и три векторные ii, jj, kk. При скалярном сопряжении меняем знак у компонент при мнимой единице II: x=x0+Iix1+Ijx2+Ikx3+Ix4+ix5+jx6+kx7x=x0+Iix1+Ijx2+Ikx3+Ix4+ix5+jx6+kx7 x∗=x0−Iix1−Ijx2−Ikx3−Ix4+ix5+jx6+kx7x∗=x0−Iix1−Ijx2−Ikx3−Ix4+ix5+jx6+kx7 При векторном сопряжении меняем знак у компонент при мнимых единицах ii, jj, kk: ¯x=x0−Iix1−Ijx2−Ikx3+Ix4−ix5−jx6−kx7¯¯¯x=x0−Iix1−Ijx2−Ikx3+Ix4−ix5−jx6−kx7 Для скалярного и векторного сопряжений результат операций сложений и умножений остается тем же с точностью до смены знаков (или направлений) соответствующих осей: (x+y)∗=x∗+y∗(x+y)∗=x∗+y∗ (xy)∗=x∗y∗(xy)∗=x∗y∗ ¯(x+y)=¯x+¯y¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯(x+y)=¯¯¯x+¯¯¯y ¯xy=ˉyˉx¯¯¯¯¯¯xy=¯y¯x Соответственно, если гиперкомплексное число имеет экспоненциальное представление x=eyx=ey то применение скалярного или векторного сопряжения к левой части влечет их же применение и к правой. А именно, если y→y∗y→y∗ то ey→ey∗=(ey)∗ey→ey∗=(ey)∗ Если y→¯yy→¯¯¯y то ey→e¯y=¯eyey→e¯¯¯y=¯¯¯¯¯ey И наоборот.
Следовательно, если к числу xx применяется скалярное или векторное или оба сопряжения, то они не меняют значение действительной части y0y0, находящегося в аргументе экспоненты.
Следовательно, поскольку полимодуль числа зависит от y0y0, то полимодуль такого числа также не изменяется: P(x∗)=P(x)P(x∗)=P(x) P(¯x)=P(x)P(¯¯¯x)=P(x) P(¯x∗)P(x)P(¯¯¯x∗)P(x)
К содержанию: Матричные представления гиперкомплексных чисел
Комментариев нет:
Отправить комментарий