Полимодули скалярно и векторно сопряженных

При скалярном и векторном сопряжении у гиперкомплексного числа меняются знаки у компонент, в образовании которых участвуют соответствующая скалярная или векторная мнимая единица. В случае если мнимая единица всего одна, то она может считаться и скалярной и векторной.

В качестве примера приведем несколько алгебр. В случае алгебры комплексных чисел $$x=x_0+ix_1$$ $$i^2=-1+i0$$ При скалярном сопряжении меняется знак у мнимой компоненты $x_1$: $$x^*=x_0-ix_1$$ В случае алгебры кватернионов $$x=x_0+ix_1+jx_2+kx_3$$ нет скалярной мнимой единицы, но есть векторные. При векторном сопряжении меняем их знак: $$\overline{x}=x_0-ix_1-jx_2-kx_3$$ В случае алгебры бикватернионов присутствует и скалярная мнимая единица $I$ и три векторные $i$, $j$, $k$. При скалярном сопряжении меняем знак у компонент при мнимой единице $I$: $$x=x_0+Iix_1+Ijx_2+Ikx_3+Ix_4+ix_5+jx_6+kx_7$$ $$x^*=x_0-Iix_1-Ijx_2-Ikx_3-Ix_4+ix_5+jx_6+kx_7$$ При векторном сопряжении меняем знак у компонент при мнимых единицах $i$, $j$, $k$: $$\overline{x}=x_0-Iix_1-Ijx_2-Ikx_3+Ix_4-ix_5-jx_6-kx_7$$ Для скалярного и векторного сопряжений результат операций сложений и умножений остается тем же с точностью до смены знаков (или направлений) соответствующих осей: $$(x+y)^*=x^*+y^*$$ $$(xy)^*=x^*y^*$$ $$\overline{(x+y)}=\overline{x}+\overline{y}$$ $$\overline{xy}=\bar{y}\bar{x}$$ Соответственно, если гиперкомплексное число имеет экспоненциальное представление $$x=e^y$$ то применение скалярного или векторного сопряжения к левой части влечет их же применение и к правой. А именно, если $$y\rightarrow y^*$$ то $$e^y\rightarrow e^{y^*}=(e^y)^*$$ Если $$y\rightarrow \overline{y}$$ то $$e^y\rightarrow e^{\overline{y}}=\overline{e^y}$$ И наоборот.

Следовательно, если к числу $x$ применяется скалярное или векторное или оба сопряжения, то они не меняют значение действительной части $y_0$, находящегося в аргументе экспоненты.

Следовательно, поскольку полимодуль числа зависит от $y_0$, то полимодуль такого числа также не изменяется: $$P(x^*)=P(x)$$ $$P(\overline{x})=P(x)$$ $$P(\overline{x}^*)P(x)$$

К содержанию: Матричные представления гиперкомплексных чисел