При скалярном и векторном сопряжении у гиперкомплексного числа меняются знаки у компонент, в образовании которых участвуют соответствующая скалярная или векторная мнимая единица. В случае если мнимая единица всего одна, то она может считаться и скалярной и векторной.
В качестве примера приведем несколько алгебр. В случае алгебры комплексных чисел $$ x=x_0+ix_1 $$ $$ i^2=-1+i0 $$ При скалярном сопряжении меняется знак у мнимой компоненты $x_1$: $$ x^*=x_0-ix_1 $$ В случае алгебры кватернионов $$ x=x_0+ix_1+jx_2+kx_3 $$ нет скалярной мнимой единицы, но есть векторные. При векторном сопряжении меняем их знак: $$ \overline{x}=x_0-ix_1-jx_2-kx_3 $$ В случае алгебры бикватернионов присутствует и скалярная мнимая единица $I$ и три векторные $i$, $j$, $k$. При скалярном сопряжении меняем знак у компонент при мнимой единице $I$: $$ x=x_0+Iix_1+Ijx_2+Ikx_3+Ix_4+ix_5+jx_6+kx_7 $$ $$ x^*=x_0-Iix_1-Ijx_2-Ikx_3-Ix_4+ix_5+jx_6+kx_7 $$ При векторном сопряжении меняем знак у компонент при мнимых единицах $i$, $j$, $k$: $$ \overline{x}=x_0-Iix_1-Ijx_2-Ikx_3+Ix_4-ix_5-jx_6-kx_7 $$ Для скалярного и векторного сопряжений результат операций сложений и умножений остается тем же с точностью до смены знаков (или направлений) соответствующих осей: $$ (x+y)^*=x^*+y^* $$ $$ (xy)^*=x^*y^* $$ $$ \overline{(x+y)}=\overline{x}+\overline{y} $$ $$ \overline{xy}=\bar{y}\bar{x} $$ Соответственно, если гиперкомплексное число имеет экспоненциальное представление $$ x=e^y $$ то применение скалярного или векторного сопряжения к левой части влечет их же применение и к правой. А именно, если $$ y\rightarrow y^* $$ то $$ e^y\rightarrow e^{y^*}=(e^y)^* $$ Если $$ y\rightarrow \overline{y} $$ то $$ e^y\rightarrow e^{\overline{y}}=\overline{e^y} $$ И наоборот.
Следовательно, если к числу $x$ применяется скалярное или векторное или оба сопряжения, то они не меняют значение действительной части $y_0$, находящегося в аргументе экспоненты.
Следовательно, поскольку полимодуль числа зависит от $y_0$, то полимодуль такого числа также не изменяется: $$ P(x^*)=P(x) $$ $$ P(\overline{x})=P(x) $$ $$ P(\overline{x}^*)P(x) $$
К содержанию: Матричные представления гиперкомплексных чисел
В качестве примера приведем несколько алгебр. В случае алгебры комплексных чисел $$ x=x_0+ix_1 $$ $$ i^2=-1+i0 $$ При скалярном сопряжении меняется знак у мнимой компоненты $x_1$: $$ x^*=x_0-ix_1 $$ В случае алгебры кватернионов $$ x=x_0+ix_1+jx_2+kx_3 $$ нет скалярной мнимой единицы, но есть векторные. При векторном сопряжении меняем их знак: $$ \overline{x}=x_0-ix_1-jx_2-kx_3 $$ В случае алгебры бикватернионов присутствует и скалярная мнимая единица $I$ и три векторные $i$, $j$, $k$. При скалярном сопряжении меняем знак у компонент при мнимой единице $I$: $$ x=x_0+Iix_1+Ijx_2+Ikx_3+Ix_4+ix_5+jx_6+kx_7 $$ $$ x^*=x_0-Iix_1-Ijx_2-Ikx_3-Ix_4+ix_5+jx_6+kx_7 $$ При векторном сопряжении меняем знак у компонент при мнимых единицах $i$, $j$, $k$: $$ \overline{x}=x_0-Iix_1-Ijx_2-Ikx_3+Ix_4-ix_5-jx_6-kx_7 $$ Для скалярного и векторного сопряжений результат операций сложений и умножений остается тем же с точностью до смены знаков (или направлений) соответствующих осей: $$ (x+y)^*=x^*+y^* $$ $$ (xy)^*=x^*y^* $$ $$ \overline{(x+y)}=\overline{x}+\overline{y} $$ $$ \overline{xy}=\bar{y}\bar{x} $$ Соответственно, если гиперкомплексное число имеет экспоненциальное представление $$ x=e^y $$ то применение скалярного или векторного сопряжения к левой части влечет их же применение и к правой. А именно, если $$ y\rightarrow y^* $$ то $$ e^y\rightarrow e^{y^*}=(e^y)^* $$ Если $$ y\rightarrow \overline{y} $$ то $$ e^y\rightarrow e^{\overline{y}}=\overline{e^y} $$ И наоборот.
Следовательно, если к числу $x$ применяется скалярное или векторное или оба сопряжения, то они не меняют значение действительной части $y_0$, находящегося в аргументе экспоненты.
Следовательно, поскольку полимодуль числа зависит от $y_0$, то полимодуль такого числа также не изменяется: $$ P(x^*)=P(x) $$ $$ P(\overline{x})=P(x) $$ $$ P(\overline{x}^*)P(x) $$
К содержанию: Матричные представления гиперкомплексных чисел
Комментариев нет:
Отправить комментарий