Октавы -- следующие после кватернионов гиперкомплексные числа с делением. Они относятся к некоммутативным, неассоциативным, но альтернативным числам.
Попробуем найти и для них матричное представление. С одной стороны, матрицы являются ассоциативными объектами, а с другой стороны структурные коэффициенты октав должны задавать произведение как линейную комбинацию.
Начнем с таблицы умножения мнимых единиц октав. Их можно встретить несколько различных, но они все равны друг другу с точностью до перестановки номеров мнимых единиц.
Октавы образуются удвоением по Кэли алгебры кватернионов и имеют 8 единиц, из них 1 действительную и 7 мнимых. При этом каждая из мнимых единиц в квадрате равна -1. Если для кватернионов с их всего лишь тремя мнимыми единицами вполне логично обозначить каждую из единиц отдельной специално выделенной для этого буквой, то с семью единицами логичнее использовать просто нумерацию в виде $e_0$, $e_1$, ... $e_7$. Для соблюдения логической преемственности первые 4 единицы (включая действительную) выбирают умножающимися в точности как кватернионные: $$ e_0^2=1 $$ $$ e_1e_2=e_3 $$ Общая таблица произведений мнимых единиц октав имеет вид: $$ \begin{array}{rrrrrrrr} e_0 & e_1 & e_2 & e_3 & e_4 & e_5 & e_6 & e_7 \\ e_1 & -e_0 & e_3 & -e_2 & e_5 & -e_4 & -e_7 & e_6 \\ e_2 & -e_3 & -e_0 & e_1 & e_6 & e_7 & -e_4 & -e_5 \\ e_3 & e_2 & -e_1 & -e_0 & e_7 & -e_6 & e_5 & -e_4 \\ e_4 & -e_5 & -e_6 & -e_7 & -e_0 & e_1 & e_2 & e_3 \\ e_5 & e_4 & -e_7 & e_6 & -e_1 & -e_0 & -e_3 & e_2 \\ e_6 & e_7 & e_4 & -e_5 & -e_2 & e_3 & -e_0 & -e_1 \\ e_7 & -e_6 & e_5 & e_4 & -e_3 & -e_2 & e_1 & -e_0 \end{array} $$ Для получения матричного представления раскроем произведение $$ \left(\sum\limits_i a_ie_i\right)\left(\sum\limits_j x_je_j\right) $$ и сгруппируем чтобы получить матричное уравнение в виде произведения квадратной матрицы 8x8 из коэффициентов $a_i$ на вектор-столбец из коэффициентов $x_i$ $$ ax=b $$ $$ \left(\sum\limits_i a_ie_i\right)\left(\sum\limits_j x_je_j\right)= \sum\limits_k b_ke_k $$ $$ b_0=a_0x_0-a_1x_1-a_2x_2-a_3x_3-a_4x_4-a_5x_5-a_6x_6-a_7x_7 $$ $$ b_1=a_1x_0+a_0x_1-a_3x_2+a_2x_3-a_5x_4+a_4x_5+a_7x_6-a_6x_7 $$ $$ b_2=a_2x_0+a_0x_1+a_0x_2-a_1x_3-a_6x_4-a_7x_5+a_4x_6+a_5x_7 $$ $$ b_3=a_3x_0-a_2x_1+a_1x_2+a_0x_3-a_7x_4+a_6x_5-a_5x_6+a_4x_7 $$ $$ b_4=a_4x_0+a_5x_1+a_6x_2+a_7x_3+a_0x_4-a_1x_5-a_2x_6-a_4x_7 $$ $$ b_5=a_5x_0-a_4x_1+a_7x_2-a_6x_3+a_1x_4+a_0x_5+a_3x_6-a_2x_7 $$ $$ b_6=a_6x_0-a_7x_1-a_4x_2+a_5x_3+a_2x_4-a_3x_5+a_0x_6+a_1x_7 $$ $$ b_7=a_7x_0+a_6x_1-a_5x_2-a_4x_3+a_3x_4+a_2x_5-a_1x_6+a_0x_7 $$ Соответственно, мы можем попробовать заменять числа из октав на матрицу $A$ если коэффициенты $A_{ij}$ образуются из коэффициентов $a_i$: $$ \left( \begin{array}{rrrrrrrr} a_0 & -a_1 & -a_2 & -a_3 & -a_4 & -a_5 & -a_6 & -a_7 \\ a_1 & a_0 & -a_3 & a_2 & -a_5 & a_4 & a_7 & -a_6 \\ a_0 & a_3 & a_0 & -a_1 & -a_6 & -a_7 & a_4 & a_5 \\ a_3 & -a_2 & a_1 & a_0 & -a_7 & a_6 & -a_5 & a_4 \\ a_4 & a_5 & a_6 & a_7 & a_0 & -a_1 & -a_2 & -a_3 \\ a_5 & -a_4 & a_7 & -a_6 & a_1 & a_0 & a_3 & -a_2 \\ a_6 & -a_7 & -a_4 & a_5 & a_2 & -a_3 & a_0 & a_1 \\ a_7 & a_6 & -a_5 & -a_4 & a_3 & a_2 & -a_1 & a_0 \\ \end{array} \right) $$ Теперь выполняется проверка, что при произведении матричных представлений $e_je_j$ получается нужное представление соответственной $e_k$ задаваемой таблицей произведений мнимых единиц. Увы, но хотя полученная матрица сама по себе соответствует линейному преобразованию, ее отдельные части соответствующие $e_i$ не подчиняются закону произведений мнимых единиц. Следовательно, структурные коэффициенты октав задают алгебру, не имеющую полнофункционального матричного представления.
Нужно отметить, что произведение $e_je_j$ дает правильный результат лишь для случая $i=j$ либо если одна из этих единиц действительная.
Если продолжить анализ полученного аналога матричного представления, то можно видеть выполнение найденного ранее правила о соответствии транспонирования матрицы скалярно-векторному сопряжению. Все мнимые единицы в октавах $e_1$, $e_2$, ... $e_7$ ведут себя как векторные и к ним применимо правило перестановочности векторного сопряжения: $$ \overline{xy}=\bar{y}\bar{x} $$ Если же взять определитель такой матрицы, то он факторизуется до выражения: $$ (a_0^2+a_1^2+a_2^2+a_3^2+a_4^2+a_5^2+a_6^2+a_7^2)^4 $$ Конечно, определитель матрицы 8x8 имеет вид полинома 8-й степени, но для октав это выражение факторизуется до четвертой степени суммы квадратов.
Хотя при произведении двух октав в действительности сохраняется 8-я степень, в силу того что реальный полином есть степень суммы квадратов мы видим также сохранение и суммы квадратов. Это явление того же порядка как и для кватернионов, где сохраняется вторая степень от суммы квадратов.
К содержанию: Матричные представления гиперкомплексных чисел
Попробуем найти и для них матричное представление. С одной стороны, матрицы являются ассоциативными объектами, а с другой стороны структурные коэффициенты октав должны задавать произведение как линейную комбинацию.
Начнем с таблицы умножения мнимых единиц октав. Их можно встретить несколько различных, но они все равны друг другу с точностью до перестановки номеров мнимых единиц.
Октавы образуются удвоением по Кэли алгебры кватернионов и имеют 8 единиц, из них 1 действительную и 7 мнимых. При этом каждая из мнимых единиц в квадрате равна -1. Если для кватернионов с их всего лишь тремя мнимыми единицами вполне логично обозначить каждую из единиц отдельной специално выделенной для этого буквой, то с семью единицами логичнее использовать просто нумерацию в виде $e_0$, $e_1$, ... $e_7$. Для соблюдения логической преемственности первые 4 единицы (включая действительную) выбирают умножающимися в точности как кватернионные: $$ e_0^2=1 $$ $$ e_1e_2=e_3 $$ Общая таблица произведений мнимых единиц октав имеет вид: $$ \begin{array}{rrrrrrrr} e_0 & e_1 & e_2 & e_3 & e_4 & e_5 & e_6 & e_7 \\ e_1 & -e_0 & e_3 & -e_2 & e_5 & -e_4 & -e_7 & e_6 \\ e_2 & -e_3 & -e_0 & e_1 & e_6 & e_7 & -e_4 & -e_5 \\ e_3 & e_2 & -e_1 & -e_0 & e_7 & -e_6 & e_5 & -e_4 \\ e_4 & -e_5 & -e_6 & -e_7 & -e_0 & e_1 & e_2 & e_3 \\ e_5 & e_4 & -e_7 & e_6 & -e_1 & -e_0 & -e_3 & e_2 \\ e_6 & e_7 & e_4 & -e_5 & -e_2 & e_3 & -e_0 & -e_1 \\ e_7 & -e_6 & e_5 & e_4 & -e_3 & -e_2 & e_1 & -e_0 \end{array} $$ Для получения матричного представления раскроем произведение $$ \left(\sum\limits_i a_ie_i\right)\left(\sum\limits_j x_je_j\right) $$ и сгруппируем чтобы получить матричное уравнение в виде произведения квадратной матрицы 8x8 из коэффициентов $a_i$ на вектор-столбец из коэффициентов $x_i$ $$ ax=b $$ $$ \left(\sum\limits_i a_ie_i\right)\left(\sum\limits_j x_je_j\right)= \sum\limits_k b_ke_k $$ $$ b_0=a_0x_0-a_1x_1-a_2x_2-a_3x_3-a_4x_4-a_5x_5-a_6x_6-a_7x_7 $$ $$ b_1=a_1x_0+a_0x_1-a_3x_2+a_2x_3-a_5x_4+a_4x_5+a_7x_6-a_6x_7 $$ $$ b_2=a_2x_0+a_0x_1+a_0x_2-a_1x_3-a_6x_4-a_7x_5+a_4x_6+a_5x_7 $$ $$ b_3=a_3x_0-a_2x_1+a_1x_2+a_0x_3-a_7x_4+a_6x_5-a_5x_6+a_4x_7 $$ $$ b_4=a_4x_0+a_5x_1+a_6x_2+a_7x_3+a_0x_4-a_1x_5-a_2x_6-a_4x_7 $$ $$ b_5=a_5x_0-a_4x_1+a_7x_2-a_6x_3+a_1x_4+a_0x_5+a_3x_6-a_2x_7 $$ $$ b_6=a_6x_0-a_7x_1-a_4x_2+a_5x_3+a_2x_4-a_3x_5+a_0x_6+a_1x_7 $$ $$ b_7=a_7x_0+a_6x_1-a_5x_2-a_4x_3+a_3x_4+a_2x_5-a_1x_6+a_0x_7 $$ Соответственно, мы можем попробовать заменять числа из октав на матрицу $A$ если коэффициенты $A_{ij}$ образуются из коэффициентов $a_i$: $$ \left( \begin{array}{rrrrrrrr} a_0 & -a_1 & -a_2 & -a_3 & -a_4 & -a_5 & -a_6 & -a_7 \\ a_1 & a_0 & -a_3 & a_2 & -a_5 & a_4 & a_7 & -a_6 \\ a_0 & a_3 & a_0 & -a_1 & -a_6 & -a_7 & a_4 & a_5 \\ a_3 & -a_2 & a_1 & a_0 & -a_7 & a_6 & -a_5 & a_4 \\ a_4 & a_5 & a_6 & a_7 & a_0 & -a_1 & -a_2 & -a_3 \\ a_5 & -a_4 & a_7 & -a_6 & a_1 & a_0 & a_3 & -a_2 \\ a_6 & -a_7 & -a_4 & a_5 & a_2 & -a_3 & a_0 & a_1 \\ a_7 & a_6 & -a_5 & -a_4 & a_3 & a_2 & -a_1 & a_0 \\ \end{array} \right) $$ Теперь выполняется проверка, что при произведении матричных представлений $e_je_j$ получается нужное представление соответственной $e_k$ задаваемой таблицей произведений мнимых единиц. Увы, но хотя полученная матрица сама по себе соответствует линейному преобразованию, ее отдельные части соответствующие $e_i$ не подчиняются закону произведений мнимых единиц. Следовательно, структурные коэффициенты октав задают алгебру, не имеющую полнофункционального матричного представления.
Нужно отметить, что произведение $e_je_j$ дает правильный результат лишь для случая $i=j$ либо если одна из этих единиц действительная.
Если продолжить анализ полученного аналога матричного представления, то можно видеть выполнение найденного ранее правила о соответствии транспонирования матрицы скалярно-векторному сопряжению. Все мнимые единицы в октавах $e_1$, $e_2$, ... $e_7$ ведут себя как векторные и к ним применимо правило перестановочности векторного сопряжения: $$ \overline{xy}=\bar{y}\bar{x} $$ Если же взять определитель такой матрицы, то он факторизуется до выражения: $$ (a_0^2+a_1^2+a_2^2+a_3^2+a_4^2+a_5^2+a_6^2+a_7^2)^4 $$ Конечно, определитель матрицы 8x8 имеет вид полинома 8-й степени, но для октав это выражение факторизуется до четвертой степени суммы квадратов.
Хотя при произведении двух октав в действительности сохраняется 8-я степень, в силу того что реальный полином есть степень суммы квадратов мы видим также сохранение и суммы квадратов. Это явление того же порядка как и для кватернионов, где сохраняется вторая степень от суммы квадратов.
К содержанию: Матричные представления гиперкомплексных чисел
Комментариев нет:
Отправить комментарий