Октавы -- следующие после кватернионов гиперкомплексные числа с делением. Они относятся к некоммутативным, неассоциативным, но альтернативным числам.
Попробуем найти и для них матричное представление. С одной стороны, матрицы являются ассоциативными объектами, а с другой стороны структурные коэффициенты октав должны задавать произведение как линейную комбинацию.
Начнем с таблицы умножения мнимых единиц октав. Их можно встретить несколько различных, но они все равны друг другу с точностью до перестановки номеров мнимых единиц.
Октавы образуются удвоением по Кэли алгебры кватернионов и имеют 8 единиц, из них 1 действительную и 7 мнимых. При этом каждая из мнимых единиц в квадрате равна -1. Если для кватернионов с их всего лишь тремя мнимыми единицами вполне логично обозначить каждую из единиц отдельной специално выделенной для этого буквой, то с семью единицами логичнее использовать просто нумерацию в виде e0, e1, ... e7. Для соблюдения логической преемственности первые 4 единицы (включая действительную) выбирают умножающимися в точности как кватернионные: e20=1 e1e2=e3 Общая таблица произведений мнимых единиц октав имеет вид: e0e1e2e3e4e5e6e7e1−e0e3−e2e5−e4−e7e6e2−e3−e0e1e6e7−e4−e5e3e2−e1−e0e7−e6e5−e4e4−e5−e6−e7−e0e1e2e3e5e4−e7e6−e1−e0−e3e2e6e7e4−e5−e2e3−e0−e1e7−e6e5e4−e3−e2e1−e0 Для получения матричного представления раскроем произведение (∑iaiei)(∑jxjej) и сгруппируем чтобы получить матричное уравнение в виде произведения квадратной матрицы 8x8 из коэффициентов ai на вектор-столбец из коэффициентов xi ax=b (∑iaiei)(∑jxjej)=∑kbkek b0=a0x0−a1x1−a2x2−a3x3−a4x4−a5x5−a6x6−a7x7 b1=a1x0+a0x1−a3x2+a2x3−a5x4+a4x5+a7x6−a6x7 b2=a2x0+a0x1+a0x2−a1x3−a6x4−a7x5+a4x6+a5x7 b3=a3x0−a2x1+a1x2+a0x3−a7x4+a6x5−a5x6+a4x7 b4=a4x0+a5x1+a6x2+a7x3+a0x4−a1x5−a2x6−a4x7 b5=a5x0−a4x1+a7x2−a6x3+a1x4+a0x5+a3x6−a2x7 b6=a6x0−a7x1−a4x2+a5x3+a2x4−a3x5+a0x6+a1x7 b7=a7x0+a6x1−a5x2−a4x3+a3x4+a2x5−a1x6+a0x7 Соответственно, мы можем попробовать заменять числа из октав на матрицу A если коэффициенты Aij образуются из коэффициентов ai: (a0−a1−a2−a3−a4−a5−a6−a7a1a0−a3a2−a5a4a7−a6a0a3a0−a1−a6−a7a4a5a3−a2a1a0−a7a6−a5a4a4a5a6a7a0−a1−a2−a3a5−a4a7−a6a1a0a3−a2a6−a7−a4a5a2−a3a0a1a7a6−a5−a4a3a2−a1a0) Теперь выполняется проверка, что при произведении матричных представлений ejej получается нужное представление соответственной ek задаваемой таблицей произведений мнимых единиц. Увы, но хотя полученная матрица сама по себе соответствует линейному преобразованию, ее отдельные части соответствующие ei не подчиняются закону произведений мнимых единиц. Следовательно, структурные коэффициенты октав задают алгебру, не имеющую полнофункционального матричного представления.
Нужно отметить, что произведение ejej дает правильный результат лишь для случая i=j либо если одна из этих единиц действительная.
Если продолжить анализ полученного аналога матричного представления, то можно видеть выполнение найденного ранее правила о соответствии транспонирования матрицы скалярно-векторному сопряжению. Все мнимые единицы в октавах e1, e2, ... e7 ведут себя как векторные и к ним применимо правило перестановочности векторного сопряжения: ¯xy=ˉyˉx Если же взять определитель такой матрицы, то он факторизуется до выражения: (a20+a21+a22+a23+a24+a25+a26+a27)4 Конечно, определитель матрицы 8x8 имеет вид полинома 8-й степени, но для октав это выражение факторизуется до четвертой степени суммы квадратов.
Хотя при произведении двух октав в действительности сохраняется 8-я степень, в силу того что реальный полином есть степень суммы квадратов мы видим также сохранение и суммы квадратов. Это явление того же порядка как и для кватернионов, где сохраняется вторая степень от суммы квадратов.
К содержанию: Матричные представления гиперкомплексных чисел
Попробуем найти и для них матричное представление. С одной стороны, матрицы являются ассоциативными объектами, а с другой стороны структурные коэффициенты октав должны задавать произведение как линейную комбинацию.
Начнем с таблицы умножения мнимых единиц октав. Их можно встретить несколько различных, но они все равны друг другу с точностью до перестановки номеров мнимых единиц.
Октавы образуются удвоением по Кэли алгебры кватернионов и имеют 8 единиц, из них 1 действительную и 7 мнимых. При этом каждая из мнимых единиц в квадрате равна -1. Если для кватернионов с их всего лишь тремя мнимыми единицами вполне логично обозначить каждую из единиц отдельной специално выделенной для этого буквой, то с семью единицами логичнее использовать просто нумерацию в виде e0, e1, ... e7. Для соблюдения логической преемственности первые 4 единицы (включая действительную) выбирают умножающимися в точности как кватернионные: e20=1 e1e2=e3 Общая таблица произведений мнимых единиц октав имеет вид: e0e1e2e3e4e5e6e7e1−e0e3−e2e5−e4−e7e6e2−e3−e0e1e6e7−e4−e5e3e2−e1−e0e7−e6e5−e4e4−e5−e6−e7−e0e1e2e3e5e4−e7e6−e1−e0−e3e2e6e7e4−e5−e2e3−e0−e1e7−e6e5e4−e3−e2e1−e0 Для получения матричного представления раскроем произведение (∑iaiei)(∑jxjej) и сгруппируем чтобы получить матричное уравнение в виде произведения квадратной матрицы 8x8 из коэффициентов ai на вектор-столбец из коэффициентов xi ax=b (∑iaiei)(∑jxjej)=∑kbkek b0=a0x0−a1x1−a2x2−a3x3−a4x4−a5x5−a6x6−a7x7 b1=a1x0+a0x1−a3x2+a2x3−a5x4+a4x5+a7x6−a6x7 b2=a2x0+a0x1+a0x2−a1x3−a6x4−a7x5+a4x6+a5x7 b3=a3x0−a2x1+a1x2+a0x3−a7x4+a6x5−a5x6+a4x7 b4=a4x0+a5x1+a6x2+a7x3+a0x4−a1x5−a2x6−a4x7 b5=a5x0−a4x1+a7x2−a6x3+a1x4+a0x5+a3x6−a2x7 b6=a6x0−a7x1−a4x2+a5x3+a2x4−a3x5+a0x6+a1x7 b7=a7x0+a6x1−a5x2−a4x3+a3x4+a2x5−a1x6+a0x7 Соответственно, мы можем попробовать заменять числа из октав на матрицу A если коэффициенты Aij образуются из коэффициентов ai: (a0−a1−a2−a3−a4−a5−a6−a7a1a0−a3a2−a5a4a7−a6a0a3a0−a1−a6−a7a4a5a3−a2a1a0−a7a6−a5a4a4a5a6a7a0−a1−a2−a3a5−a4a7−a6a1a0a3−a2a6−a7−a4a5a2−a3a0a1a7a6−a5−a4a3a2−a1a0) Теперь выполняется проверка, что при произведении матричных представлений ejej получается нужное представление соответственной ek задаваемой таблицей произведений мнимых единиц. Увы, но хотя полученная матрица сама по себе соответствует линейному преобразованию, ее отдельные части соответствующие ei не подчиняются закону произведений мнимых единиц. Следовательно, структурные коэффициенты октав задают алгебру, не имеющую полнофункционального матричного представления.
Нужно отметить, что произведение ejej дает правильный результат лишь для случая i=j либо если одна из этих единиц действительная.
Если продолжить анализ полученного аналога матричного представления, то можно видеть выполнение найденного ранее правила о соответствии транспонирования матрицы скалярно-векторному сопряжению. Все мнимые единицы в октавах e1, e2, ... e7 ведут себя как векторные и к ним применимо правило перестановочности векторного сопряжения: ¯xy=ˉyˉx Если же взять определитель такой матрицы, то он факторизуется до выражения: (a20+a21+a22+a23+a24+a25+a26+a27)4 Конечно, определитель матрицы 8x8 имеет вид полинома 8-й степени, но для октав это выражение факторизуется до четвертой степени суммы квадратов.
Хотя при произведении двух октав в действительности сохраняется 8-я степень, в силу того что реальный полином есть степень суммы квадратов мы видим также сохранение и суммы квадратов. Это явление того же порядка как и для кватернионов, где сохраняется вторая степень от суммы квадратов.
К содержанию: Матричные представления гиперкомплексных чисел
Комментариев нет:
Отправить комментарий