Для полимодулей положительность значения не есть обязательное условие. Существуют примеры, когда полимодуль может быть и отрицательным, хотя и является полиномом 2-го порядка (к алгебре, имеющей полимодуль первого порядка можно отнести алгебру действительных чисел).
Это полимодуль паракомплексных чисел. В паракомплексных числах мнимая единица $i$ в квадрате равна действительной единице. Точнее говоря, действительной единице при действительной компоненте и нулю при мнимой компоненте. Для паракомплексного числа $$ x = x_0+ix_1 $$ матричное представление равно: $$ X=\left( \begin{array}{cc} x_0 & x_1 \\ x_1 & x_0 \end{array}\right) $$ Соответственно, полимодуль паракомплексного числа равен: $$ P(x)=x_0^2-x_1^2 $$ У паракомплексных чисел алгебраическим сопряжением числа $x$ считается число $$ \overline{x}=x_0-ix_1 $$ Соответственно, произведение числа на ему алгебраически сопряженное равно: $$ x\overline{x}=x_0^2-x_1^2 $$ При этом, в случае если $$ \left|x_1\right| > \left|x_0\right| $$ то это значение отрицательно и не может быть представлено в виде квадрата модуля как действительного числа.
Собственно говоря, в качестве произведения числа на ему сопряженное мы получаем число той же алгебры, а не действительное число, поэтому речь идет о значении при действительной компоненте числа. При произведении числа на ему алгебраически сопряженное мы получаем ненулевое значение лишь у действительной компоненты, а остальные компоненты нулевые.
Похожая ситуация с бикомплексными числами и бикватернионами, у которых число $x$ имеет, к примеру, ненулевые компоненты $x_0$ и $x_1$: $$ x=x_0+Iix_1+0(\ldots) $$ Для них алгебраически сопряженным числом является $$ x=x_0-Iix_1+0(\ldots) $$ И в случае когда $$ \left|x_1\right| > \left|x_0\right| $$ также получаем: $$ x\overline{x}=x_0^2-x_1^2 < 0 $$ Такие величины не могут быть представлены квадратом модуля, если модуль - действительное число. Но для таких чисел по-прежнему выполняется соотношение: $$ P(xy)=P(x)P(y) $$ Хотя произведение числа на ему алгебраически сопряженное дает в данном случае отрицательную величину, значения полимодулей таких бикомплексных чисел и бикватернионов положительные числа. Это иллюстрирует, что полимодули не есть прямой аналог модулей, а есть величина $x\overline{x}$ в степени двойки. Для бикомплексных чисел это $$ P(x)=(x\overline{x})^2 $$ для бикватернионов это $$ P(x)=(x\overline{x})^4 $$
В отношении отрицательных полимодулей для гиперкомплексных чисел выполняются правила:
1) Произведение двух чисел с положительными или отрицательными полимодулями дает число с положительным полимодулем.
2) Произведение числа с положительным полимодулем на число с отрицательным полимодулем дает число с отрицательным полимодулем.
3) Число, обратное числу с положительным полимодулем, должно иметь положительный полимодуль.
4) Число, обратное числу с отрицательным полимодулем, должно иметь отрицательный полимодуль.
К содержанию: Матричные представления гиперкомплексных чисел
Это полимодуль паракомплексных чисел. В паракомплексных числах мнимая единица $i$ в квадрате равна действительной единице. Точнее говоря, действительной единице при действительной компоненте и нулю при мнимой компоненте. Для паракомплексного числа $$ x = x_0+ix_1 $$ матричное представление равно: $$ X=\left( \begin{array}{cc} x_0 & x_1 \\ x_1 & x_0 \end{array}\right) $$ Соответственно, полимодуль паракомплексного числа равен: $$ P(x)=x_0^2-x_1^2 $$ У паракомплексных чисел алгебраическим сопряжением числа $x$ считается число $$ \overline{x}=x_0-ix_1 $$ Соответственно, произведение числа на ему алгебраически сопряженное равно: $$ x\overline{x}=x_0^2-x_1^2 $$ При этом, в случае если $$ \left|x_1\right| > \left|x_0\right| $$ то это значение отрицательно и не может быть представлено в виде квадрата модуля как действительного числа.
Собственно говоря, в качестве произведения числа на ему сопряженное мы получаем число той же алгебры, а не действительное число, поэтому речь идет о значении при действительной компоненте числа. При произведении числа на ему алгебраически сопряженное мы получаем ненулевое значение лишь у действительной компоненты, а остальные компоненты нулевые.
Похожая ситуация с бикомплексными числами и бикватернионами, у которых число $x$ имеет, к примеру, ненулевые компоненты $x_0$ и $x_1$: $$ x=x_0+Iix_1+0(\ldots) $$ Для них алгебраически сопряженным числом является $$ x=x_0-Iix_1+0(\ldots) $$ И в случае когда $$ \left|x_1\right| > \left|x_0\right| $$ также получаем: $$ x\overline{x}=x_0^2-x_1^2 < 0 $$ Такие величины не могут быть представлены квадратом модуля, если модуль - действительное число. Но для таких чисел по-прежнему выполняется соотношение: $$ P(xy)=P(x)P(y) $$ Хотя произведение числа на ему алгебраически сопряженное дает в данном случае отрицательную величину, значения полимодулей таких бикомплексных чисел и бикватернионов положительные числа. Это иллюстрирует, что полимодули не есть прямой аналог модулей, а есть величина $x\overline{x}$ в степени двойки. Для бикомплексных чисел это $$ P(x)=(x\overline{x})^2 $$ для бикватернионов это $$ P(x)=(x\overline{x})^4 $$
В отношении отрицательных полимодулей для гиперкомплексных чисел выполняются правила:
1) Произведение двух чисел с положительными или отрицательными полимодулями дает число с положительным полимодулем.
2) Произведение числа с положительным полимодулем на число с отрицательным полимодулем дает число с отрицательным полимодулем.
3) Число, обратное числу с положительным полимодулем, должно иметь положительный полимодуль.
4) Число, обратное числу с отрицательным полимодулем, должно иметь отрицательный полимодуль.
К содержанию: Матричные представления гиперкомплексных чисел
Комментариев нет:
Отправить комментарий