Отрицательные полимодули

Для полимодулей положительность значения не есть обязательное условие. Существуют примеры, когда полимодуль может быть и отрицательным, хотя и является полиномом 2-го порядка (к алгебре, имеющей полимодуль первого порядка можно отнести алгебру действительных чисел).

Это полимодуль паракомплексных чисел. В паракомплексных числах мнимая единица $i$ в квадрате равна действительной единице. Точнее говоря, действительной единице при действительной компоненте и нулю при мнимой компоненте. Для паракомплексного числа $$x = x_0+ix_1$$ матричное представление равно: $$X=\left( \begin{array}{cc} x_0 & x_1 \\ x_1 & x_0 \end{array}\right)$$ Соответственно, полимодуль паракомплексного числа равен: $$P(x)=x_0^2-x_1^2$$ У паракомплексных чисел алгебраическим сопряжением числа $x$ считается число $$\overline{x}=x_0-ix_1$$ Соответственно, произведение числа на ему алгебраически сопряженное равно: $$x\overline{x}=x_0^2-x_1^2$$ При этом, в случае если $$\left|x_1\right| > \left|x_0\right|$$ то это значение отрицательно и не может быть представлено в виде квадрата модуля как действительного числа.

Собственно говоря, в качестве произведения числа на ему сопряженное мы получаем число той же алгебры, а не действительное число, поэтому речь идет о значении при действительной компоненте числа. При произведении числа на ему алгебраически сопряженное мы получаем ненулевое значение лишь у действительной компоненты, а остальные компоненты нулевые.

Похожая ситуация с бикомплексными числами и бикватернионами, у которых число $x$ имеет, к примеру, ненулевые компоненты $x_0$ и $x_1$: $$x=x_0+Iix_1+0(\ldots)$$ Для них алгебраически сопряженным числом является $$x=x_0-Iix_1+0(\ldots)$$ И в случае когда $$\left|x_1\right| > \left|x_0\right|$$ также получаем: $$x\overline{x}=x_0^2-x_1^2 < 0$$ Такие величины не могут быть представлены квадратом модуля, если модуль - действительное число. Но для таких чисел по-прежнему выполняется соотношение: $$P(xy)=P(x)P(y)$$ Хотя произведение числа на ему алгебраически сопряженное дает в данном случае отрицательную величину, значения полимодулей таких бикомплексных чисел и бикватернионов положительные числа. Это иллюстрирует, что полимодули не есть прямой аналог модулей, а есть величина $x\overline{x}$ в степени двойки. Для бикомплексных чисел это $$P(x)=(x\overline{x})^2$$ для бикватернионов это $$P(x)=(x\overline{x})^4$$

В отношении отрицательных полимодулей для гиперкомплексных чисел выполняются правила:

1) Произведение двух чисел с положительными или отрицательными полимодулями дает число с положительным полимодулем.

2) Произведение числа с положительным полимодулем на число с отрицательным полимодулем дает число с отрицательным полимодулем.

3) Число, обратное числу с положительным полимодулем, должно иметь положительный полимодуль.

4) Число, обратное числу с отрицательным полимодулем, должно иметь отрицательный полимодуль.

К содержанию: Матричные представления гиперкомплексных чисел