При использовании матричного представления гиперкомплексного числа становится возможным вычислить не только его полимодуль как полиномиальное выражение от коэффициентов, но и обратное. Обратное для гиперкомплексного числа может быть вычислено как решение матричного уравнения
$$
AX=1
$$
где 1 - это вектор-столбец с единицей в качестве коэффициента при действительной единице и с нулями в качестве коэффициентов при мнимых единицах. Как было показано ранее (см. полимодули и обратные), обратное значение вычисляется как отношение полиномов
$$
\frac{P_{n-1}(x)}{P_n(x)}
$$
где $P_n(x)$ - полином порядка $n$ из коэффициентов числа $x$.
Для обратных, обозначаемых $x^{-1}$, можно записать: $$ xx^{-1}=1 $$ где $x$ и $x^{-1}$ - гиперкомплексные числа, а 1 - тоже гиперкомплексное число, с нулями при мнимых единицах и единицей при действительной компоненте.
Для гиперкомплексных алгебр также вводится понятие алгебраически сопряженного элемента, для которого выполняется $$ x\overline{x}=|x|^2 $$ При этом значение $|x|$ трактуется как действительное число больше или равное 0, и модуль алгебраически сопряженного должен быть равен соответственно модулю исходного числа: $$ |\overline{x}|=|x| $$ Значение алгебраически сопряженного похоже на значение обратного с точностью до умножения на действительное число: $$ \overline{x}=x^{-1}|x|^2 $$ И, в случае если $x$ есть единичное число: $$ |x|=1 $$ то выполняется $$ x^{-1}=\overline{x} $$ и, если $|x|=-1$ то $$ x^{-1}=-\overline{x} $$ В определенном смысле обратное и алгебраически сопряженное есть числа, дополняющие по умножению исходное число до 1 (или -1) и $|x|^2$ соответственно.
Точно также как обратное может быть лишь одно (для ассоциативных алгебр по меньшей мере) и вычисляется единственным образом, и левое и правое обратные совпадают, то же самое должно относиться и к алгебраически сопряженным:
1) для ассоциативных алгебр алгебраически сопряженное единственно.
2) алгебраически сопряженное левое равно алгебраически сопряженному правому.
3) алгебраически сопряженное вычисляется для всех чисел с ненулевым полимодулем.
4) формально для чисел с нулевым полимодулем обратным может быть любое число с нулевым полимодулем, при умножении которых получается 0. Таким образом для чисел с нулевым полимодулем алгебраически сопряженное может быть не единственно.
К содержанию: Матричные представления гиперкомплексных чисел
Для обратных, обозначаемых $x^{-1}$, можно записать: $$ xx^{-1}=1 $$ где $x$ и $x^{-1}$ - гиперкомплексные числа, а 1 - тоже гиперкомплексное число, с нулями при мнимых единицах и единицей при действительной компоненте.
Для гиперкомплексных алгебр также вводится понятие алгебраически сопряженного элемента, для которого выполняется $$ x\overline{x}=|x|^2 $$ При этом значение $|x|$ трактуется как действительное число больше или равное 0, и модуль алгебраически сопряженного должен быть равен соответственно модулю исходного числа: $$ |\overline{x}|=|x| $$ Значение алгебраически сопряженного похоже на значение обратного с точностью до умножения на действительное число: $$ \overline{x}=x^{-1}|x|^2 $$ И, в случае если $x$ есть единичное число: $$ |x|=1 $$ то выполняется $$ x^{-1}=\overline{x} $$ и, если $|x|=-1$ то $$ x^{-1}=-\overline{x} $$ В определенном смысле обратное и алгебраически сопряженное есть числа, дополняющие по умножению исходное число до 1 (или -1) и $|x|^2$ соответственно.
Точно также как обратное может быть лишь одно (для ассоциативных алгебр по меньшей мере) и вычисляется единственным образом, и левое и правое обратные совпадают, то же самое должно относиться и к алгебраически сопряженным:
1) для ассоциативных алгебр алгебраически сопряженное единственно.
2) алгебраически сопряженное левое равно алгебраически сопряженному правому.
3) алгебраически сопряженное вычисляется для всех чисел с ненулевым полимодулем.
4) формально для чисел с нулевым полимодулем обратным может быть любое число с нулевым полимодулем, при умножении которых получается 0. Таким образом для чисел с нулевым полимодулем алгебраически сопряженное может быть не единственно.
К содержанию: Матричные представления гиперкомплексных чисел
Комментариев нет:
Отправить комментарий