понедельник, 18 мая 2020 г.

Полимодули и алгебраическое сопряжение

При использовании матричного представления гиперкомплексного числа становится возможным вычислить не только его полимодуль как полиномиальное выражение от коэффициентов, но и обратное. Обратное для гиперкомплексного числа может быть вычислено как решение матричного уравнения AX=1AX=1 где 1 - это вектор-столбец с единицей в качестве коэффициента при действительной единице и с нулями в качестве коэффициентов при мнимых единицах. Как было показано ранее (см. полимодули и обратные), обратное значение вычисляется как отношение полиномов Pn1(x)Pn(x)Pn1(x)Pn(x) где Pn(x)Pn(x) - полином порядка nn из коэффициентов числа xx.

Для обратных, обозначаемых x1x1, можно записать: xx1=1xx1=1 где xx и x1x1 - гиперкомплексные числа, а 1 - тоже гиперкомплексное число, с нулями при мнимых единицах и единицей при действительной компоненте.

Для гиперкомплексных алгебр также вводится понятие алгебраически сопряженного элемента, для которого выполняется x¯x=|x|2x¯¯¯x=|x|2 При этом значение |x||x| трактуется как действительное число больше или равное 0, и модуль алгебраически сопряженного должен быть равен соответственно модулю исходного числа: |¯x|=|x||¯¯¯x|=|x| Значение алгебраически сопряженного похоже на значение обратного с точностью до умножения на действительное число: ¯x=x1|x|2¯¯¯x=x1|x|2 И, в случае если xx есть единичное число: |x|=1|x|=1 то выполняется x1=¯xx1=¯¯¯x и, если |x|=1|x|=1 то x1=¯xx1=¯¯¯x В определенном смысле обратное и алгебраически сопряженное есть числа, дополняющие по умножению исходное число до 1 (или -1) и |x|2|x|2 соответственно.

Точно также как обратное может быть лишь одно (для ассоциативных алгебр по меньшей мере) и вычисляется единственным образом, и левое и правое обратные совпадают, то же самое должно относиться и к алгебраически сопряженным:

1) для ассоциативных алгебр алгебраически сопряженное единственно.

2) алгебраически сопряженное левое равно алгебраически сопряженному правому.

3) алгебраически сопряженное вычисляется для всех чисел с ненулевым полимодулем.

4) формально для чисел с нулевым полимодулем обратным может быть любое число с нулевым полимодулем, при умножении которых получается 0. Таким образом для чисел с нулевым полимодулем алгебраически сопряженное может быть не единственно.

К содержанию: Матричные представления гиперкомплексных чисел

Комментариев нет:

Отправить комментарий