Единственность обратных

Исследование полимодулей гиперкомплексных чисел выявило возможность получить достаточно просто значение обратное заданному, и сделать это аналитически. И у этого способа есть важное следствие.

При вычислении обратного мы ищем решение уравнения $$AX=E$$ И если оно найдено, то $X$ считается величиной, обратной к $A$.

Мы видим, что матричное представление неассоциативной алгебры не может сохранить коммутационные соотношения при умножении $$AX$$ Поэтому далее рассматриваем ассоциативные алгебры.

Для нахождения $X$ мы можем перейти к умножению не матриц, а матрицы на вектор-столбец $$AX=1$$ и для получения полной матрицы подставлять в нужные её коэффициенты значения из найденного вектора-столбца.

Вычисляя значение $X$, мы получаем набор отношений вида $$x_i=\frac{\det(A_i)}{\det(A)}$$ где $A_i$ - матрица $A$ с подставленным вектор-столбцом 1 в $i$-й столбец.

Здесь и в числителе и в знаменателе стоят полиномы от коэффициентов $a_i$. Следовательно, это однозначно вычисляемые величины. Деление также вычисляетс результат однозначно. Следовательно, все коэффициенты $x_i$ и всЁ число $x$ в целом вычисляются однозначно.

Следовательно, обратные величины в ассоциативных алгебрах единственны. И, если мы нашли одно обратное, то других нет, можно не искать.

Конечно, нужно сделать оговорку, что это всё рассуждение касается случая $$\det(A)\neq 0$$ Мы также можем написать обратное в виде $$XA=1$$ где $X$ и 1 - вектор-строки.

Как было показано ранее, мы можем подставить вместо $X$ и $A$ матричные представления скалярно-векторно сопряденных (в матричном представлении это выражается транспонированием) $$\overline{A}^*\overline{X}^*=1$$ И мы можем найти значение $\overline{X}^*$, являющееся обратным для числа $\overline{a}^*$. Но поскольку $\overline{X}^*$ есть транспонированная матрица, а матрица обратная транспонированной равна транспонированию обратной, значение $X$ вычисленные как из решения $$XA=1$$ так и из решения $$AX=1$$ соответственно совпадают, это одно и то же значение. Следовательно, в ассоциативных алгебрах левые и правые обратные не только единственны но и равны между собой.

Что любопытно, для октав также верно, что $$q\overline{q}=|q|^2=qq^{-1}|q|^2=q^{-1}q|q|^2$$ Но это уже просто проверка, а не доказательство в общем случае.

К содержанию: Матричные представления гиперкомплексных чисел