Исследование полимодулей гиперкомплексных чисел выявило возможность получить достаточно просто значение обратное заданному, и сделать это аналитически. И у этого способа есть важное следствие.
При вычислении обратного мы ищем решение уравнения $$ AX=E $$ И если оно найдено, то $X$ считается величиной, обратной к $A$.
Мы видим, что матричное представление неассоциативной алгебры не может сохранить коммутационные соотношения при умножении $$ AX $$ Поэтому далее рассматриваем ассоциативные алгебры.
Для нахождения $X$ мы можем перейти к умножению не матриц, а матрицы на вектор-столбец $$ AX=1 $$ и для получения полной матрицы подставлять в нужные её коэффициенты значения из найденного вектора-столбца.
Вычисляя значение $X$, мы получаем набор отношений вида $$ x_i=\frac{\det(A_i)}{\det(A)} $$ где $A_i$ - матрица $A$ с подставленным вектор-столбцом 1 в $i$-й столбец.
Здесь и в числителе и в знаменателе стоят полиномы от коэффициентов $a_i$. Следовательно, это однозначно вычисляемые величины. Деление также вычисляетс результат однозначно. Следовательно, все коэффициенты $x_i$ и всЁ число $x$ в целом вычисляются однозначно.
Следовательно, обратные величины в ассоциативных алгебрах единственны. И, если мы нашли одно обратное, то других нет, можно не искать.
Конечно, нужно сделать оговорку, что это всё рассуждение касается случая $$ \det(A)\neq 0 $$ Мы также можем написать обратное в виде $$ XA=1 $$ где $X$ и 1 - вектор-строки.
Как было показано ранее, мы можем подставить вместо $X$ и $A$ матричные представления скалярно-векторно сопряденных (в матричном представлении это выражается транспонированием) $$ \overline{A}^*\overline{X}^*=1 $$ И мы можем найти значение $\overline{X}^*$, являющееся обратным для числа $\overline{a}^*$. Но поскольку $\overline{X}^*$ есть транспонированная матрица, а матрица обратная транспонированной равна транспонированию обратной, значение $X$ вычисленные как из решения $$ XA=1 $$ так и из решения $$ AX=1 $$ соответственно совпадают, это одно и то же значение. Следовательно, в ассоциативных алгебрах левые и правые обратные не только единственны но и равны между собой.
Что любопытно, для октав также верно, что $$ q\overline{q}=|q|^2=qq^{-1}|q|^2=q^{-1}q|q|^2 $$ Но это уже просто проверка, а не доказательство в общем случае.
К содержанию: Матричные представления гиперкомплексных чисел
При вычислении обратного мы ищем решение уравнения $$ AX=E $$ И если оно найдено, то $X$ считается величиной, обратной к $A$.
Мы видим, что матричное представление неассоциативной алгебры не может сохранить коммутационные соотношения при умножении $$ AX $$ Поэтому далее рассматриваем ассоциативные алгебры.
Для нахождения $X$ мы можем перейти к умножению не матриц, а матрицы на вектор-столбец $$ AX=1 $$ и для получения полной матрицы подставлять в нужные её коэффициенты значения из найденного вектора-столбца.
Вычисляя значение $X$, мы получаем набор отношений вида $$ x_i=\frac{\det(A_i)}{\det(A)} $$ где $A_i$ - матрица $A$ с подставленным вектор-столбцом 1 в $i$-й столбец.
Здесь и в числителе и в знаменателе стоят полиномы от коэффициентов $a_i$. Следовательно, это однозначно вычисляемые величины. Деление также вычисляетс результат однозначно. Следовательно, все коэффициенты $x_i$ и всЁ число $x$ в целом вычисляются однозначно.
Следовательно, обратные величины в ассоциативных алгебрах единственны. И, если мы нашли одно обратное, то других нет, можно не искать.
Конечно, нужно сделать оговорку, что это всё рассуждение касается случая $$ \det(A)\neq 0 $$ Мы также можем написать обратное в виде $$ XA=1 $$ где $X$ и 1 - вектор-строки.
Как было показано ранее, мы можем подставить вместо $X$ и $A$ матричные представления скалярно-векторно сопряденных (в матричном представлении это выражается транспонированием) $$ \overline{A}^*\overline{X}^*=1 $$ И мы можем найти значение $\overline{X}^*$, являющееся обратным для числа $\overline{a}^*$. Но поскольку $\overline{X}^*$ есть транспонированная матрица, а матрица обратная транспонированной равна транспонированию обратной, значение $X$ вычисленные как из решения $$ XA=1 $$ так и из решения $$ AX=1 $$ соответственно совпадают, это одно и то же значение. Следовательно, в ассоциативных алгебрах левые и правые обратные не только единственны но и равны между собой.
Что любопытно, для октав также верно, что $$ q\overline{q}=|q|^2=qq^{-1}|q|^2=q^{-1}q|q|^2 $$ Но это уже просто проверка, а не доказательство в общем случае.
К содержанию: Матричные представления гиперкомплексных чисел
Комментариев нет:
Отправить комментарий