Правое и левое матричное уравнения

К линейным матричным уравнениям относят уравнения вида

AX=B
Здесь предполагается, что X - неизвестное, а A и B - известные.

Обычно под X и B понимают два вектора-столбца, но это не принципиально, поскольку можно взять n вектор-столбцов вместо одного X и n вектор-столбцов вместо одного B и составить из них матрицы, причем n может быть любым.

Для решения матричного уравнения были разработаны метод Кронекера и метод Гаусса. В обоих случаях матричное уравнение решаемо, если определитель матрицы A не равен 0.

Рассмотрим другой вариант матричного уравнения:

XA=B
здесь A - по-прежнему квадратная матрица, имеющая ненулевой определитель, а X и B - векторы-строки. Как решить такое уравнение?

Логика подсказывает, что в обоих случаях коэффициенты B есть линейные комбинации коэффициентов X и система должна быть приводима к первому варианту. Чтобы не путаться, назовем по расположению переменной X первое уравнение правым, а второе - левым матричным уравнением.

Итак, если коэффициенты B есть линейные комбинации из коэффициентов X, то в случае если бы X и B были вектор-столбцами X' и B', должно выполняться:

A'X'=B'
но, поскольку X'=X^T и B'=B^T, то должно быть:

(XA)^T=A^TX^T=A'X^T

Следовательно, искомая матрица равна

A'=A^T
Таким образом, левое матричное уравнение

XA=B
сводится к правому

A^TX^T=B^T
После решения с транспонированной A и получения X^T получаем искомый вектор X.